Erster Fall: Die Curvenschar wird nullgliedrig transformiert. 323 



zwischen U^f und U^f allein vorhanden, so wären alle zweireihigen 

 Determinanten der Matrix 



9i ^1 li 



identisch Null, sodass auch die dreireihige Determinante zJ^^s identisch 

 Null wäre, d. h. zwischen U^f, U^f und U^f bestände eine Relation 

 mit von x abhängigen Coefticienten. Diese Annahme würde jedoch 

 zum Fall II gehören und ist hier also unstatthaft. Daher besteht bei 

 der Untergruppe ü^f, U^f keine Relation zwischen U^f und ü^/" mit 

 von X abhängigen Coefficienten. Diese Untergruppe gehört demnach 

 zu dem unter II bestimmten Typus und kann durch passende Wahl 

 der Veränderlichen, bei der U^f nicht wesentlich geändert wird, auf 

 die dort bestimmte Form 



UJ=q, üjE^yq 

 gebracht werden. Jetzt ist noch 



UJ= (p{x)q + tp{x)yq + x{x)y^q 



zu normieren. Sicher ist hierin x^=0, weil sonst zwischen ü^f, U^fjU^f 

 eine Relation mit von x abhängigen Coefficienten vorhanden wäre. 

 Nun ist 



{U,U,) = (i; + 2xy)q. 



Da ZJg/' auch y'^q enthält, so kann diese infinitesimale Transformation 

 {f -f- 2xy)q nur aus C/^/" und U^f linear ableitbar sein, d. h. ^ und x 

 sind Constanten a und b. Nun kann statt 



Usf= (pq + ayq + by^q 

 auch 



ü,f-aU,f=cpq-\-by'q (6 + 0) 



als ü^f benutzt werden. Alsdann haben wir 



Dies muss linear aus üif und U^f ableitbar sein, sodass 

 -cp-\-by' = a-\-ß{cp + bf) 



ist, wenn a und ß Constanten bedeuten. Hiernach ist /3 = 1 und 

 (p == Const. Alsdann kann statt TJ^f auch U-^f — Const. ü^f benutzt 

 werden, sodass U-^f r^by^q oder also U^f^Ey^q verbleibt. 

 Die gesuchte Gruppe lautet also einfach : 



q yQ y^Q 



Hiermit sind alle Typen von imprimitiven Gruppen bestimmt, bei 

 denen die Curven der invarianten Schar einzeln invariant bleiben. 



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