324 Kapitel 13, § 3. 



§ 3. Zweiter Fall: Die Curvenschar wird eingliedrig transformiert. 



Jetzt liegt der Fall vor, dass in den infinitesimalen Transforma- 

 tionen der gesuchten Gruppe 



TJif^ i,i{x)p + rii{x, y)q 

 {i=l, 2 . . r) 



X gerade eingliedrig transformiert wird, also zwischen je zweien der | 

 eine lineare Relation mit constanten Coefficienten besteht, sodass etwa 



I2 = ö'2il> . - . |r = «rli (0^2 • • «r = CoUSt.) 



ist, während l^ nicht Null ist, denn sonst läge die Annahme des 

 vorigen Paragraphen vor. Wir können anstatt C/g/". . TJrf nun auch 

 TJ^f — a^U^f, ...Urf — ürü^f als infinitesimale Transformationen be- 

 nutzen, da sie der Gruppe angehören, weil «3 • • ^^^ Constanten sind. 

 Alsdann kann noch lj\f durch Einführung einer passenden Function 

 von X als neues x auf die Form gebracht werden, dass li ^ 1 ist, 

 sodass wir haben : 



ü'J = p + r},{x, y)q, 



Ü2f= %(x, y)q, 



UrfEEE rjr{x, y)q. 



Hier ist offenbar (UiUk) frei von p. Also sind diese (JJiTJ^ linear 

 aus TJ^f . . . TJrf allein ableitbar, d. h. nach dem Hauptsatze erzeugen 

 TJ^f . • • TJrf für sich eine {r — l)-gliedrige Untergruppe. Bei ihr wird 

 jede Gerade x = Const. in Ruhe gelassen. Diese Untergruppe gehört 

 deshalb einem der im vorigen Paragraphen bestimmten drei Typen an, 

 indem wir bemerken, dass bei Aufstellung dieser Typen keine neue 

 Variabele x eingeführt wurde, wodurch die Form von TJ^f eine Ände- 

 rung erlitte. Deshalb dürfen wir direct U^f.. TJrf als einen jener Typen 

 wählen, zu denen dann noch TJ^f ^ p -\- rjiq hinzutritt, sodass die drei 

 Fälle vorliegen : 



I. q (p^{x)q (pa{x)q . . cpr-i{x)q p -\r n{^, y)<l, 

 II. q yq (p^{x)q . . (pr-i{x)q p + 'ri{x, y)q, 

 III. q yq y^q p -{- f}(x, y)q. 



Der Fall, dass zu p -\- riq keine infinitesimalen Transformationen 

 hinzutreten, ist auszuschliessen, denn dann könnte die Gruppe auf die 

 Form q gebracht werden, die zu den im vorigen Paragraphen be- 

 stimmten Typen gehört. Wir behandeln nun die Fälle I, II, III nach 

 einander, indem wir die Kiammerausdrücke prüfen. 



