Zweiter Fall: Die Curvenschar wird eiagliedrig transformiert. 325 



I. Es ist ^"*°' ^''11 



{(Pk{x)(2, p + riq) = {(pk ^ — cpk) q. 



Diese Transformation muss der Gruppe angehören. Da sie frei von 

 p ist, muss sie also linear aus q, <p^q . . (pr—\q ableitbar sein. Also 



ist 7^ frei von v, da <Pi ^ 1 zu setzen, also nicht Null ist. Wir 

 cy ^ 1 Tx 



haben also anzunehmen : 



r] = ^l>(x)y + %{x). 



Indem wir als neues y die Grösse 



A{x)y-\-B(x) 



einführen, können wir bei passender Wahl der Functionen A und 2? 

 erreichen, dassp + '?Q' ^i^ Form p annimmt, während die q)k{x)q nicht 

 wesentlich gestört werden, sodass die Gruppe lautet: 



(p^{x)q (p.,{x)q . . . (pr—i{x)q p. 



Combinieren wir, so kommt: 



{p, fpk{x)q) = cp'kq. 



Also müssen qo/, . fp'r—i nach dem Hauptsatze lineare homogene Func-^ 

 tionen von qp^ . . (p,- mit constanten Coefficienten sein : 

 dq)j. 



-^ = «/tl<jPl + ■ + akr-l<Pr-l 



{Je = 1, 2 • . r). 

 Die Theorie dieser Differentialgleichungen, die ja ein d'Alembert'sches 

 System bilden, lehrt bekanntlich, dass (p^ . . <pr-i linear mit constanten 

 Coefficienten aus gewissen r — 1 Functionen linear und homogen zu- 

 sammensetzbar sind. Diese r — 1 Functionen haben die Form : 



Da statt der r — 1 infinitesimalen Transformationen ^)^q . . cpr-xq 

 irgend welche r — 1 von einander unabhängige aus ihnen linear ab- 

 leitbare gesetzt werden dürfen, so folgt, dass wir 9?^ . .fpr-\ direct 

 mit den obenstehenden Functionen identificieren dürfen. Sonach er- 

 giebt sich die typische Form: 



