326 Kapitel 13, §§ 3, 4. 



Man überzeugt sich durch Bildung der Klammerausdrücke davon, dass 

 diese infinitesimalen Transformationen stets eine Gruppe erzeugen, wie 

 auch die Constanten a^ . . Um und die ganzen Zahlen ^^ . . Q,a und m 

 gewählt werden. 



Zweiter jj jju zweiten Fall 



Fall. 



q yq (p^(x)q . . (pr~i{x)q p + r]{x, y)q 

 giebt die Klammeroperation zunächst wieder : 



(g)/c(x)q, p -]- fjq) = [cpk ^1 — (pi) q. 



Da diese infinitesimale Transformation von p frei ist, muss sie linear 

 aus q, yq und den cpiq ableitbar sein. Da q selbst auftritt, also 



sicher ein (p nicht Null ist, so folgt also, dass ^ linear in y ist, d. h.: 



ri EEE Gi{x)y^ + il}{x)y + x{x). 

 Ferner kommt : 



Da diese Transformation p nicht enthält, muss sie sich aus den r — 1 

 ersten infinitesimalen Transformationen der Gruppe linear ableiten 

 lassen, d. h. es ist eo eee 0, während % die Form H Const. qpj -|- Const. 

 hat, sodass wir in 



p + na~-^-p + {^{x)y + %{x))q 



das Glied %{x)q streichen können, da es eine schon vorhandene in- 

 finitesimale Transformation ist. Also lautet die letzte Transformation: 



P + ^{oc)yq. 



Durch Einführung einer Function Ä{x) ■ y als neues y können wir 

 sie auf die Form p bringen, indem die Gruppe die Form enthält: 



Gii_{x)q . . G)r-2(x)q yq p. 



Lassen wir hierin yq fort, so bildet der Rest für sich eine Gruppe, 

 da die übrigen unter sich combiniert nie Glieder mit yq liefern. Diese 

 Untergruppe wurde unter I bestimmt. Danach kommt der Typus: 



Dies ist nach dem Hauptsatze stets eine Gruppe. 



