Dritter Fall: Die Curvenscliar wird zweigliedrig transformiert. 327 



IIL Wir kommen zu der Form : 



und finden durch Combination: 



(q, p + vq) = s^Q- 



drj 



Mithin ist ~, da rechts p nicht auftritt, quadratisch in y und frei 



dy' 



von X] wir dürfen also setzen : 



rjEEEay^ -\- ßy^ -\- yy -\- ip{oo), 



indem wir unter a, ß, y Coustanten verstehen. Da yq, y^q besonders 

 auftreten, darf sogar 



7j = ay^ + ^{x), d. h. p + iqq =p + {ccy^ + ip)q 



gewählt werden. Nun gehört der Gruppe an: 



bü, p + («2/' + ^)q) = (2«^/' — t)q, 



d. h. es ist a = und i^ eine Constante, die gleich Null gesetzt 

 werden darf, weil q besonders auftritt. Somit kommt: 



q yq y^q p 



Oftenbar ist dies wirklich nach dem Hauptsatze eine Gruppe. 



Wir bemerkten zwar oben, dass sich der Fall, dass nur p -j- i]q 

 auftritt, auf die Annahme des vorigen Paragraphen zurückführen lässt. 

 Dabei bedarf es jedoch der Einführung einer Function von x und y 

 als neues x. Da wir nun im nächsten Paragraphen von den jetzigen 

 Ergebnissen Gebrauch machen müssen und zwar von den Ergebnissen, 

 die hervorgehen, wenn wir statt x höchstens eine Function von x selbst 

 einführen, so müssen wir die Annahme p -\- ri{x, y)q gesondert auf- 

 stellen. Indem wir hierin eine passende, y wirklich enthaltende Func- 

 tion von x und y als neues y einführen, können wir diese eingliedrige 

 Gruppe auf die Form bringen : 



i P V 



§ 4. Dritter Fall : Die Curvenschar wird zweigliedrig transformiert. 



Wir kommen nunmehr zur Annahme, dass die Geradenscliar 

 X = Const. bei der gesuchten Gruppe zweigliedrig in sich transfor- 

 miert wird. Die Gruppe hat zunächst wieder die Form 

 ^,/= li{x)p + y\i{x, y)q 

 (.• = 1, 2 . . r). 



Dritter 

 Fall. 



