328 Kapitel 13, § 4. 



Es besteht aber jetzt zwischen je dreien der 1» eine lineare Relation 

 mit Constanten Coefficienten. Die verkürzte Gruppe ^i(x)p (i = l,2 ..r), 

 die jetzt also gerade zweigliedrig ist, lässt sich durch Einführung einer 

 passenden Function von x als neues x nach Theorem 27, § 4 des 

 12. Kap., auf die Form p, xp bringen. Hieraus folgt, dass die ge- 

 suchte Gruppe durch Einführung dieses neuen x die Form annimmt: 



Uif^ {ttiX + bi)p -\- r}i(x, y)q 

 (i=l, 2..r), 



in der die a, und bi Constanten bedeuten. Durch lineare Combination 

 mit Constanten Coefficienten erreichen wir nun, dass die Gruppe so 

 erscheint : * 



r)i(x, y)q .. Tjr-^ix, y)q p ■}- r]r-i(x, y)q xp -\- ri{x, y)q. 



Die r — 1 ersten infinitesimalen Transformationen geben bei der 

 Klamraeroperation mit einander nie Glieder mit xp. Diese Klammer- 

 ausdrücke müssen sich also linear aus den r — 1 ersten ableiten lassen, 

 d.h. die r — 1 ersten erzeugen eine (r — l)-gliedrige Untergruppe. 

 Diese Untergruppe lässt sich, wie wir sahen, durch Einführung einer 

 passenden, y wirklich enthaltenden Function von x, y als neues y, wo- 

 durch xp-\-riq nicht wesentlich geändert wird, auf eine der im vorigen 

 Paragraphen bestimmten vier typischen Formen bringen. Es handelt 

 sich also darum, zu jenen drei Typen noch eine solche infinitesimale 

 Transformation xp -f- ri{x, y)q hinzuzufügen, dass sich wieder Gruppen 

 ergeben. 



Erster Fall. !• Zunächst haben wir: 



fi<^i.x ui.x Ol. ai.x I / \ 



^ '' q XG " q • • • x^'^e * g p xp -\- y\{x, y)q 



/^ = 1, 2 . . m, l^Qk -{- m = r — 2, »- > 2. 

 Es ist 



(e"^^g, xp + f]q) = (e«^'^ || - a.xe"^^) q. 



Diese infinitesimale Transformation muss sich aus denen der Gruppe 

 linear ableiten lassen, offenbar aus den r — 2 ersten. Dies zeigt, dass 



g- eme Function von x allein ist, sodass 



rj = tlj(x)y -f x{x) 

 zu setzen ist. Nun ist 



(p, xp-\-r}q)=p-{- ^q. 

 Dieser Ausdruck lehrt, dass ^ nur x enthalten darf, da er sich linear 



