Dritter Fall: Die Curvenschar wird zweigliedrig transformiert. 329 



aus den r — 1 ersten infinitesimalen Transformationen ableiten lassen 

 muss. Somit ist tl; constant, etwa gleich a und "J? ^"^ «^ + x(^)- 

 Nunmehr bilden wir 

 {x^^e'''''q, xp -\- {ay + %}(]) ^ {{a — Qk)x^'''e'^'' — akX^'''^^e'^'')q. 

 e'^^q kommt in der Gruppe höchstens mit dem Factor x"'^ vor. Hier 

 aber tritt UkX^^ auf. Also ist aj, = 0. Folglich reduciert sich die 

 Gruppe, indem nun m = Je = 1 sein muss, einfach auf: 



q xq x^q . . x''~'^q p xp -}- {ay -\- xipc))q. 

 Combination der beiden letzten infinitesimalen Transformationen giebt 

 P ~h %Q.' Daher ist 



x{x) EE Const. + Const. x -\- • ■ -\- Const. a:'""^, 

 d. h. 



X (a?) = «0 + a^a; + • • + a,—zx''-^ + Ix'—^, 



sodass, wenn man von der letzten infinitesimalen Transformation die 

 in der Gruppe enthaltene : 



(«0 + a,a; + • • + a,—-iX'-^)q 

 abzieht, einfach als letzte bleibt : 



xp -\- {ay -\- bx''~^)q. 



Führen wir y -j- cx''~^ als neues y ein, so werden die r — 2 ersten 

 infinitesimalen Transformationen nicht geändert, während die vorletzte 

 übergeht in 



2) -\- (r — 2)cx''—^q, 



die wir durch p ersetzen können, da x''~'^q schon auftritt. Die letzte 

 ferner geht über in : 



xp -\- {{r — 2 — a)c + h)x''~^q + ayq. 



Ist r — 2 =4= <*> so lässt sich 



— b 



c = 



r — 2 — a 

 wählen, sodass sich xp -{- ayq ergiebt und die Gruppe lautet: 



q xq x^q • • x''~^q p xp -\- ayq 



Wenn aber r — 2 = a ist, so lautet die letzte infinitesimale Trans- 

 formation vor Einführung jenes neuen y: 



xp -\- {{r — 2)y + hx''~^)q. 

 j Ist 6 = 0, so würden wir einen Specialfall der soeben bestimmten 

 Form erhalten. Daher nehmen wir &=j=0 an und führen j- y als neues 

 y ein, sodass sich 



