Dritter Fall: Die Curvenschar wird zweigliedrig transformiert. 331 



e«^2 xef^q • • • ic'"— *e"-^g yq p xp -{- axyq. 

 Indem wir nun ye~^'' als neues y benutzen, erhalten wir 

 q xq • ' • x''~^q yq p — ayq xp. 



Da yq besonders auftritt, so kann ohne weiteres a == gesetzt 

 werden. Dadurch geht die Gruppe hervor: 



III. Wir kommen zur Bestimmung einer Gruppe von der Form : dritter 



° ^ ^ Fall. 



q yq y'^q p xp + t;g. 

 Es ist 



{q, xp + riq)=^^^^q. 



Daher ist -^ quadratisch in y und frei von x, denn ^^^ q niuss wieder 



der Gruppe angehören. Wir setzen daher, unter a, ß, y Constanten 

 verstehend, 



n ^ ^y^ + ^f -\- yy -\- t{x). 



Weil die Gruppe schon yq, y^q selbständig enthält, so können diese 



Glieder in 



xp -i- {ay-^ -\- ßy' -\r yy + il-'{x))q 



gestrichen werden, sodass bleibt 



xp + {ay^ + t^')^- 

 Nun ist 



(yq, xp + {ay'' + i>)rj) = (2mf — ^)q. 



Also muss auch 2ay^ — -4) quadratisch in y und frei von x sein. 

 Somit ist « = und ^ eine Constante, die, weil q selbständig auf- 

 tritt, gleich Null gesetzt werden darf. Die Gruppe lautet nun: 



a ya y q p ^p 



Man überzeuge sich davon, dass dies in der That eine Gruppe ist. 



IV. Jetzt bleibt die Annahme übrig: ^iau*" 



p xp -\- Yjq. 



Klammeroperation liefert p -\- ^q- Also ist ^ ^ 0, daher rj eine 

 Function von y allein. Ist sie verschieden von Null, so kann sie 



