332 Kapitel 13, §§ 4, 5. 



durch Einführung einer passenden Function von y als neues y gleich 

 1 gemacht werden, sodass sich die beiden Gruppen ergeben: 



p xp 



p xp-^q 



§ 5, Vierter Fall: Die Curvenschar wird dreigliedrig transformiert. 



Wir nehmen nunmehr an, dass die Geraden x = Const. bei der 

 gesuchten Gruppe dreigliedrig unter einander transformiert werden. 

 Die verkürzte Gruppe kann durch Einführung einer Function von x als 

 neues x nach Theorem 27, § 4 des 12. Kap., auf die Form p, xp, x^p 

 gebracht werden. Eine Überlegung wie zu Beginn des vorigen Para- 

 graphen lehrt, dass wir daher die infinitesimalen Transformationen der 

 ■ gesuchten Gruppe vorerst so wählen können: 



^i(^; y)(l '■■ nr-iix, y)q p + i],.-2{^, y)q xp + nr-x(x, y)q 



x^p-\- 7j{x, y)q. 



Die Klammerausdrücke der r — 1 eisten geben nie Glieder mit x^p. 

 Sie müssen also für sich eine {r — l)-gliedrige Untergruppe bilden, 

 die in Form eines der in § 4 bestimmten Typen angenommen werden 

 darf, da bei der Normierung dieser Typen nur für y eine neue Varia- 

 bele eingeführt wird, wodurch x^p -{- ^iq nicht wesentlich geändert 

 wird. Es liegt uns also jetzt ob, zu den in § 4 bestimmten sechs Typen 

 eine solche infinitesimale Transformation x^p + ri{x, y)q hinzuzufügen, 

 dass sich wieder eine Gruppe ergiebt. Dabei dürfen wir uns jetzt 

 sprachlich kürzer fassen, da es sich immer um Wiederholungen gleich- 

 artiger Überlegungen handelt. 



Krster Fall. I. q xq x^q ■ ■ x''-^q p xp -{- üyq x^p -f- riq. 



Es kommt hier 



{q, x^p + fiq)=^q, daher 7} = (a^ -j- a,x -\ [- ar-iX'-'')y + ti^). j 



(x'-^q, x'p -j-'nq) = (^'-' p — {r — 4)x'-^) q = | 



= (a^x'--^ + a^x^-^ H [- ttr-AX^'-^ — (r — A)x'-^)q, 



d. h. «1 = r — 4, «2 = 0, • • . ar-4: = 0. Die letzte infinitesimale 

 Transformation lautet nun: 



^^P + (ttoV + (r— i)xy + il){x))q. 



Combination mit p giebt: 



2xp-}-((r — 4:)y-i-ilj')q, 



d. h. r — 4 = 2a, i^'= hf^^l^x -{ f- &;._4^'— *, sodass | 



