Vierter Fall: Die Curvenschar wird dreigliedrig transformiert. 333 



wird. Da q, xq ■ • x^~^q selbständig auftreten, so darf sogar 



gesetzt werden, sodass die beiden letzten infinitesimalen Transforma- 

 tionen diese sind: 



^P + ^^ ygi, x^p + {a^y -f (r — ^)xy + cx'—^)q. 



Ihre Combination giebt: 



x^p — Ur — ^)xy -\- ~— cx'^—Aq. 



Dies muss gleich der letzten infinitesimalen Transformation sein. 

 Daher ist: 



0^ = 0, (r — 4)c = 0. 



Ist zunächst c = 0, so lautet der Typus, wenn die vorletzte Transfor- 

 mation noch mit 2 multipliciert wird: 



q xq x^q •• x^'-'^q p 2xp -\- (r — A)yq x'^p -{- (r — 4:)xyq 



r > 3 



Wenn aber c =f= und also r = 4 ist, so kommt: 



q p xp x^p -f- cxq. 



\ . .1 



Da c =1= ist, können wir e'^ als neues y einführen. Alsdann kommt: 



yq p xp x'^p -f- xyq 



Beide Typen stellen wirklich Gruppen dar. 



II. Wir betrachten nun den Fall : zweiter 



Fall. 



q xq • ■ x'—'^q p xp -f ((r — 4)«/ -|- a;'"-^)g x^p -{- riq. 



Wie im vorigen Fall ergiebt sich zunächst, dass die letzte infinite- ■ 

 simale Transformation in der speciellen Form angenommen werden 

 darf: 



x^p + {ay -f (r — 4)xy + t{x))q. 



Combination mit p giebt : 



2xp+ ({r — 4:)y -f t')q. 



Diese infinitesimale Transformation lässt sich aber unmöglich aus 

 denen der Gruppe linear ableiten, da hier yq den Coefficienten r — 4 

 hat, also 



