Vierter Fall: Die Curvenschar wird dreigliedrig transformiert. 335 



VI. p Xp -\- q X^p-\- Tiq. ^ FaR ' 



Es ist hier 

 also 



{p, x'p + riq) = 2xp + g-|g, 



ferner 



{xp + q, x^p + Tiq) = a;-^) + (a; gl + g|) g EEE xV + i^x + ^')q, 



sodass 



2x -i- ^'eee2x-}- i>, 

 also 



sein muss. Führen wir, wenn a =^ ist, x -f- ae^ als neues y ein, so 

 kommt: 



I P-\- Q. xP + y<l x^p + y'q I • 



Wenn dagegen a = ist, so haben wir 



p xp -{- q x'^j^ -f- 2xq. 

 y 

 Benutzen wir e als neues y, so kommt die Form: 



p 2xp -f- yq x^p -\- xyq 



in der die Gruppe projectiv erscheint. Auch die vorige Gru])pe lässt 

 sich durch Einführung neuer Variabein auf eine projective Form 

 bringen. Führt man nämlich 



— ^=F- und xy 



als neue Veränderliche x und y ein, so kommt zunächst: 



|/2(iJ + xq) xp + 2yq y2(x^ — y)p + Y2xyq. 



Der Factor ]/2 kann gestrichen werden. So ergiebt sich die bekannte 

 dreigliedrige projective Gruppe, die den Kegelschnitt x^ — 2y = 

 invariant lässt (vgl. § 4 des 4. Kap.) : 



p -\- xq xp -\- 2yq (x^ — y)p + xyq. 



Wir sind nun zu Ende mit der Bestimmung aller imprimitiven 

 Gruppen der Ebene. Unter den gefundenen Typen kommen allerdings 

 überzählige vor. Doch wollen wir, ehe wir auf diesen Punkt eingehen, 

 das zweite Problem in Angriff nehmen, alle primitiven Gruppen der 

 Ebene zu bestimmen. 



