336 Kapitel 14, § 1. 



Kapitel 14. 



Bestimmung der primitiven Gruppen und Classification aller endliehen 



Gruppen der Ebene. 



Um die primitiven endlichen Gruppen der Ebene zu bestimmen, 

 schlagen wir einen wesentlich anderen Weg ein als zur Bestimmung 

 der imprimitiven. Wir machen dabei Gebrauch von ähnlichen Reihen- 

 entwickelungen der infinitesimalen Transformationen wie in § 4 des 

 12. Kapitels bei den Gruppen der Geraden, und besonders benutzen 

 wir die Transformationen, welche die Richtungen durch einen fest- 

 gehaltenen Punkt bei der gesuchten Gruppe erfahren. Dadurch ge- 

 lingt es, das Problem in drei einzelne zu teilen, deren Behandlung 

 keine besonderen Schwierigkeiten macht. Die in § 3 des 12. Kapitels 

 aufgestellte specielle Jacobi'sche Identität wird hierbei öfters verwertet. 



Schliesslich stellen wir alle endlichen continuierlichen Gruppen 

 der Ebene mit paarweis inversen Transformationen in einer Tafel zu- 

 sammen, indem wir sie in geeigneter Weise einteilen, 



§ 1. Transformation der Linienelemente durch einen 

 festgehaltenen Punkt. 



Zunächst haben wir einige Betrachtungen anzustellen, die nicht 



nur für die primitiven, sondern auch für die imprimitiven Gruppen 



gültig sind. Wir ziehen es daher vor, bis auf weiteres überhaupt von 



einer beliebigen r-gliedrigen Gruppe UJ. . Urf der Ebene zu sprechen. 



Festhalten Eine r-glicdrige Gruppe der Ebene enthält eine Schar von Trans- 



Piinktos formationen, die einen beliebig aber bestimmt g-ewählteu Punkt (x^, w") 



bei einer . ' ^ <-' v ; i' / 



Gruppe, in Ruhe lassen. Natürlich bilden alle diese Transformationen für sich 

 eine Gruppe, da auch die Aufeinanderfolge zweier dieser Transforma- 

 tionen den Punkt (x^, y^) in Ruhe lässt und daher einer Transforma- 

 tion eben dieser Schar äquivalent ist. Auch ist klar, dass diese 

 Gruppe zu jeder ihrer Transformationen die inverse enthält. 



Ist die r-gliedrige Gruppe transitiv, so lassen sich ihre Gleichungen 

 nach Satz 1, § 1 des 8. Kap., nach zweien ihrer Parameter auflösen; 

 wenn man in diesen aufgelösten Gleichungen die ursprünglichen und 

 die neuen Veränderlichen gleich x^, y^ setzt, so erhält man also für 

 jene zwei Parameter bestimmte von den übrigen r — 2 Parametern ab- 

 hängige Werte. In einer transitiven Gruppe lassen also gerade oo''-^ 

 Transformationen einen bestimmten Punkt allgemeiner Lage {xi\ y^) 

 in Ruhe. 



