Transformation der Linienelemente durch einen festgehaltenen Punkt. 337 



Ist die r-gliedrige Gruppe intransitiv, [so hat sie eine Invariante 

 Sl(x, y) nach Satz 2, § 1 des 8. Kap., und ist nach nur einem der 

 Parameter auflösbar. Daher lässt sie sich so schreiben : 



^{^l, Vi) = ^{^, y), «1 = ^(^1, Vi, X, ^, «2 • • «r), 



wenn «^ . . «^ ihre Parameter sind. Setzt man hierin x = Xy= x^, 

 y = Vi = y^7 so wird die erste Gleichung identisch erfüllt, während 

 die zweite a^ als Function der übrigen r — 1 Parameter bestimmt. 

 In einer intransitiven Gruppe lassen also gerade oo'"— ^ Transforma- 

 tionen einen bestimmten Punkt allgemeiner Lage {x^, ff) in Ruhe. 



Satz 1: In einer r-gliedrigen Gruppe der Ebene giebt es gerade 

 oo'"— 2 jg^ oo'— 1 Transformationen, die einen bestimmt gtivählten PunJd 

 allgemeiner Lage in Ruhe lassen, je nachdem die Gruppe transitiv oder 

 intransitiv ist. Diese Transformationen bilden für sich eine Gruppe mit 

 paanveis inversen Transformationen. 



Durch die Bezeichnung des Punktes {x^, y^) als Punkt allgemeiner 

 Lage werden gewisse singulare Punkte ausgeschlossen, die bei mehr 

 als diesen Transformationen invariant bleiben. Bei einer Gruppe kann 

 es z. B. sehr wohl gewisse Punkte geben, die bei allen Transforma- 

 tionen der Gruppe in Ruhe bleiben. Solche Punkte sollen aber bei 

 der Wahl des Punktes {x^, y^) ausgeschlossen werden. 



Insbesondere kann man, ausgehend von den infinitesimalen Trans- luf. Transf. 

 formationen Uif...Urf der r-gliedrigen Gruppe, die (r — 2)-gliedrige die^/iner* 

 bez. (r — l)-gliedrige continuierliche Untergruppe mit paarweis in- invariant 

 Versen Transformationen construieren, bei der ein Punkt allgemeiner, 

 aber bestimmter Lage (x^, y^) invariant ist. Man hat zu dem Zwecke, 

 wenn 



Uif= ^i{x, y)p + r}i{x, y)q 

 (^• = 1, 2 . . r) 



ist, die Constanten e^ . . Cr den beiden Bedingungen zu unterwerfen: 



r r 



^eMA f) = 0, yie,ri,{x\ f) = 0. 

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Alsdann lassen alle infinitesimalen Transformationen UctUif den Punkt 

 (a;«, t/0) in Ruhe. 



Unter ihnen sind gerade r — 2 von einander unabhängige, wenn 

 keine der beiden Bedingungsgleichungen Folge der andern ist. Die 

 eine ist nun Folge der andern, wenn — da {x^, y^) von allgenjeinei- 

 Lage sein soll — alle zweireihigen Determinanten der Matrix 



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