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Kapitel 14, § 1. 



identisch verschwinden, d. h. wenn die Gruppe intransitiv ist, nach 

 Satz 5, § 2 des 8. Kap. 



Wir erhalten also r — 2 bez. r — 1 von einander unabhängige 

 infinitesimale Transformationen, je nachdem die Gruppe transitiv oder 

 intransitiv ist. 



Keihenont- Deukcn wir uns nun alle infinitesimalen Transformationen der 



wickehing „ i • i ij. 



der inf. r-ffüedrigen Gruppe nach Potenzen von x — x^ und y — y" entwickelt, 



Trausform. ^ ^ •*■ 



was bei hinreichend wenig von x^, y^ abweichenden Werten von x, y 

 geschehen darf, so haben sie zunächst allgemein die Form : 



(a 4- i{cc - rc«) + c{y — ^«) + d{x - x'^y + . . . .)i> + 

 + (a + ß{x - x') + y{y - f) + d{x - xr + • • • O^- 

 Der Punkt (x^, y^) bleibt hierbei in Ruhe, wenn die Coefficienten von 

 p und q für x = x^, y = y^ verschwinden, wenn also a = a = ist. 

 Er bleibt dagegen nicht in Ruhe, wenn wenigstens einer der Coef- 

 ficienten a, a nicht Null ist. Nach dem Obigen wissen wir also, dass, 

 sagen wir gerade q, von einander unabhängige infinitesimale Trans- 

 formationen der Gruppö die Form haben : 



Vif={bi{x - X') + Ci{y - 2/") 4- • ■)P + (/3^(^ - «") + rAV -f) + - •)<! 



(i = 1, 2 . . q), 



in der die Glieder höherer Ordnung in x — x^ und y — y'' nur an- 

 gedeutet sind. Ausserdem enthält die Gruppe noch r — q, also zwei' 

 oder eine, von diesen und von einander unabhängige infinitesimale 

 Transformationen von der Form 

 {a-\--b{x- x'') + c{^-y'') + --)p + {cc-\-ß{x-x'')-\-r{y- y") + • •) 2; = 



in denen a und a nicht beide Null sind. 1 



Wir wollen künftig in einer infinitesimalen Transformation immerj 

 nur die wirklich vorkommenden Glieder niedrigster Ordnung wirklich! 

 angeben und die höherer Ordnung durch Punkte andeuten. Eine! 

 infinitesimale Transformation, in der der niedrigste Grad, den diö 

 Coefficienten von p und q \n x — x^, y — y^ haben, gleich s ist, nennen 



^"fer onfwir ciuc infinitesimale Transformation s'"' Ordnung. 



Alsdann können wir sagen : Die Gruppe enthält q infinitesimale 

 Transformationen erster oder höherer Ordnung. Dieselben erzeugen 



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