Transformation der Linienelemente durch einen festgehaltenen Punkt. 339 

 in der That für sich eine Gruppe. Setzen wir nämlich 2''"-nf 'i^^ 



^ ^ ^raugi., die 



r,f= ihix - x') + c,{y ~ f))p + iß,{x - X') + 7,(y - y'))q 'l^::.^' 



laasüu. 



(*=.!, 2.. 9), 

 so ist 



wenn die Glieder von zweiter und höherer Ordnung nur angedeutet 

 werden. Alsdann giebt die Klammeroperation: 



{¥,%) = (B,,{x - x') + a,(y - y'))p + {B,,{x - x^) + V,,{y - f)ql 



wo 



Sik = ßiCk — ßkCi, 



Cik = ViCk — yuCi + Cihk — Ckhi, 

 ^ik = hßk — Ikßi + ßiVk — ßkYi, 



r,/t = Cißk — Ckßi 



ist. Offenbar drücken sich auch die Coefficienten der Glieder erster 

 Ordnung in {ViVu) allein durch die Coefficienten der Glieder erster 

 Ordnung in Vif und Vkf aus, d. h. es ist: 



{ViVk) = iyiVk) + --- 



oder auch 



(1) ( F.F,) = {Bik{x - x') + Ca{y -y')-\-- •)!> + 



+ (B,,(a; - x') + Vik{y ~f) + - •)?• 



Für x = x% y^y"^ sind nun die (JiVk) Null, also auch die {ViV^. 

 Mithin lässt jeder Klammerausdruck (7,7*) den Punkt (rr^, ?/°) in Ruhe. 

 Daher ist er, da er auch der r-gliedrigen Gruppe angehört, linear aus 

 Vxf- • ' Vqf allein ableitbar: 



(2) {ViVk) = ^ya,VJ 



1 



Nach dem Hauptsatze ergiebt sich hieraus : 



Satz 2: Alle infinitesimalen Transformationen einer r-gliedrigen 

 Gruppe der Ebene, die eitlen FunU allgemeiner Lage in Ruhe lassen 

 erzeugen eine Gruppe. Biese Gruppe ist {r — 2)-gliedrig oder (r — 1)- 

 gliedrig, je nachdem die r-gliedrige Gruppe transitiv oder intransitiv ist. 



Erweitern wir nun die infiinitesimalen Transformationen F.f. F., f Erweiterung 



indem wir die Transformationen von y oder — ^ mitberücksichtigen. (Vgl. '^''■^'''^°™- 



§ 1 des 9. Kap.) Wir erhalten dadurch gewisse infinitesimale Traiis- 



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