Transformation der Linienelemente durch einen festgehaltenen Punkt. 341 



Wir wollen nunmehr nur die Transformationen der durch den ^5*"/*^ ^" 



Riclitungon 



Punkt (a;°, 'if) gehenden Riehtungen y betrachten. Zu dem Zweck '^"^j^l^'j^^^^^- 

 haben wir in den Vif überall x = x^, y = y^ zu setzen, sodass die J'u'^i^te. 

 Glieder, die x — x^ und y — y^ enthalten, sämtlich fortfallen. Dann 

 erkennen wir, dass die Richtungen y durch den festgehaltenen Punkt 

 {xP, y^) vermöge der infinitesimalen Transformationen 



(7) W,f= (A + (y. - b;)y - c,y') ^ 



(i = 1, 2 . . (,) 



und der aus ihnen linear ableitbaren unter einander vertauscht werden. 

 Die Klammerausdrücke der Wf nehmen nach (5) die Form au : 



( W, W,) = (B,. + (r„ - B^,)y' - a,/^) ^ , 



während nach (6) die rechte Seite hierin gleich 



^^yiksißs + (y> — h)y — c,y"') j^, 



ist, sodass nach (7) folgt: 



1 

 (j, Ä; = 1, 2 . . r — 2). 



Diese Relationen haben eine begriffliche Deutung : die Wf sind 

 infinitesimale Transformationen der Veränderlichen y allein. Ihre 

 Klammerausdrücke sind nach der letzten Formel linear aus ihnen 

 selbst ableitbar, die Wf erzeugen mithin nach dem Hauptsatz für 

 Gruppen der einfachen Mannigfaltigkeit y (Satz 13 in § 4 des 12. Kap.) 

 eine Gruppe in y und zwar, wie die Form (7) der Wf lehrt, eine 

 projective Gruppe in ij . Wie in § 1 des 11. Kap. wollen wir unter 

 einem Linienelement den Inbegriff' eines Punktes und einer durch ihn 

 gehenden Geraden oder, besser gesagt, einer durch ihn gehenden Rich- 

 tung verstehen. Es werden die Linienelemente (a;°, y^, y') durch den 

 festgehaltenen Punkt {x^, y^) wieder in Linienelemente durch ihn über- 

 geführt, sodass y als Coordinate dieser oo^ Linienelemente dienen kann. 

 Man beachte, dass die Form der W^f. . . W^f nur von den Gliedern 

 erster Ordnung in V^f. . . V^f abhängt. Diese Glieder erster Ordnung 

 nennen wir die verkürzten infinitesimalen Transformationen erster 

 Ordnung : 



Vif= ih{x - x^) + Ci(y - f))p + {ßi(x - x') + y,{y - y'))q. 



Auch bemerkt man, dass die Wf sich genau so combinieren wie die 



