342 Kapitel 14, § 1. 



Yf, und dass zwischen diesen Vf und den Wf genau derselbe Zu- 

 sammenhang besteht wie zwischen der allgemeinen linearen homogenen 

 Gruppe der Ebene und der allgemeinen projectiven Gruppe der Ge- 

 raden. (Vgl. § 4 des 5. Kap.) Man erhält nämlich die Form der zu- 

 gehörigen Wf auch dadurch, dass man nicht y, sondern 



^ — y-y" 



als Veränderliche benutzt. Es kommt dann aus jedem Vif eine infini- 

 tesimale Transformation 



ißi + in — h)u — CiU^)^;;^, 



also eine von derselben Form wie Wif. 



Wir sagen : 



Satz 3: Alle diejenigen Transformationen einer r-gliedrigen Gruppe 

 der Ebene, die einen Punkt (x^, y^) invariant lassen, transformieren die 

 durch diesen Punkt gehenden Linienelemente {x^, y^, y) vermöge einer pro- 

 jectiven Gruppe der einfachen Mannigfaltigkeit y . 



Ferner ist zu bemerken, dass die W-J . . . TF^/" im allgemeinen 

 nicht sämtlich von einander unabhängig sein werden, denn eine pro- 

 jective Gruppe der einfachen Mannigfaltigkeit ist ja höchstens drei- 

 gliedrig. Es sind nach Theorem 15, § 2 des 5. Kap., mithin diese 

 Fälle denkbar: * 



Vier Fälle. Erstens.' Die Gruppe in y' ist die allgemeine dreigliedrige pro- 

 jective Gruppe. Dann bleibt kein Linienelement durch (a;°, y^) mit 

 diesem Punkte invariant. Die r-gliedrige Gruppe kann dann ofienbar 

 auch keine Curvenschar g>(ic^, y^) = Const. invariant lassen, denn sonst 

 müsste ja, wenn der Punkt (x'^, y'^) festgehalten wird, auch die Curve 



(p{x, y) = (p{x\ y"") 



der Schar invariant bleiben, mithin auch das Linienelement, das ihre 

 Tangente im Punkte {x^, y^) bestimmt. In diesem Falle ist also die 

 y-gliedrige Gruppe sicher primitiv. 



Zweitens : Die Gruppe in y ist zweigliedrig. Alsdann ist eiu 

 Linienelement y durch den Punkt {x^, y^) bei der Gruppe der Trans- 

 formationen, die (x^, y^) in Ruhe lassen, ebenfalls invariant. Wir 

 werden bald sehen, dass dann die r-gliedrige Gruppe eine und nur 

 eine Schar von oo^ Curven (p{x, y) = Const. in sich überführt, sobald 

 * die Gruppe transitiv ist. 



Drittens: Die Gruppe in y ist eingliedrig. Mit {x^, y^) bleiben 

 dann ein oder zwei Linienelemente durch diesen Punkt fest. In diesem 

 Falle lässt die r-gliedrige Gruppe, wie wir erkennen werden, gerade 



