Transformation der Linieiielemente durch einen festgehaltenen Punkt. 343 



eine bez. zwei Seharen q){x, y) == Const. invariant, sobald sie tran- 

 sitiv ist. 



Viertens: Die Gruppe in y' ist nullgliedrig, d. h. alle Linien- 

 elemente durch den Punkt (x^ ?/") bleiben mit ihm in Ruhe. In diesem 

 Falle werden wir zeigen, dass die r-gliedrige Gruppe, wenn sie tran- 

 sitiv ist, unendlich viele Scharen cp{x, y) = Const. invariant lässt. 



Wir werden also nachweisen, dass die r-gliedrige Gruppe in den 

 drei letzten Fällen imprimitiv ist, sobald sie transitiv ist. Intransitive 

 Gruppen muss man ja überhaupt zu den imprimitiven rechnen (vgl. 

 § 3 des 8. Kap.). 



Der Beweis ist schnell geführt, da er sich nicht wesentlich von ^'^Jj^^^^'^'^ 

 der Betrachtung unterscheidet, die in § 2 des 11. Kap. zum Satz 10 ^""l/j;"^! 

 führte. Wo dort das Wort Gerade gebraucht wurde, ist hier nur das eioment. 

 Wort Richtung zu benutzen. In jedem unserer drei letzten Fälle giebt 

 es ja mindestens eine Richtung durch den Punkt p^ oder {x^, y^'), 

 die in Ruhe bleibt, sobald p^^ festgehalten wird. Da die r-gliedrige 

 Gruppe auch die Linienelemente unter einander transformiert — wie 

 die Mitberücksichtigung der Transformationen von y lehrt — , so sehen 

 wir also : Es giebt in jenen Fällen mindestens eine Richtung g^ durch 

 den Punkt p*^, für die 



{go)^o = {yo) 



ist, sobald Ä^ eine solche Transformation der r-gliedrigen Gruppe ist, 

 die Pq in Ruhe lässt: 



iPo)So = (Po)- 

 Dies gilt entsprechend, wenn der Punkt p^ vermöge einer Transforma- 

 tion T der Gruppe in einen Punkt p übergeführt wird: 



(Po)T-iP), 

 für die Richtung y durch p, für welche 



{9o)T=(9) 



ist, und man sieht ein, dass alle T, die p^ nach p führen, auch g^^ in 

 g überführen. Der Beweis ist genau so wie früher an der angegebenen 

 Stelle. Der Inbegriff von p und g ist ein Linienelement l, und wir 

 finden somit den Satz : 



Satz 4: Bleibt hei allen den Transformationen einer Gruppe, die ' 

 einen bestimmten Funkt p allgemeiner Lage in Ruhe lassen, ein Linien- 

 element l durch diesen Funkt in Buhe, so ist mit allen Punkten p, in 

 die p bei der Gruppe übergeh&ti kann, ein Linienelement V invariant ver- 

 knüpft, d. h. jede Transformation der Gruppe, die p in p überführt, 

 bringt l nach t ; jede, die p in Ruhe lässt, lässt auch l' in Ruhe. 



