344 Kapitel 14, §§ 1, 2, 



c^er^tr^ns ^^^ ^^^ ^^^ Gruppe trEüsitiv, so kann p in alle Punkte p über- 



Gruppe geführt werden — wenigstens innerhalb eines gewissen Bereiches. Wir 



erhalten dann in allen diesen Punkten p' je ein Linienelement V, und 



offenbar führt jede Transformation der Gruppe die Schar dieser oo^ 



Linienelemente in sich über. Denn ist 



und 



wenn l" das mit p" invariant verknüpfte Linienelement bedeutet, so 

 ist wegen (p) = (p) Ta auch : 



ip)TaT,^(p") 



und also nach Satz 4, da TaTc einer Transformation der Gruppe 

 äquivalent ist: 



d. h., da {T)Ta = {l') ist: 

 Invariante Dicsc Invariante Schar von Linienelementen wird dargestellt durch 



Differential- _ _ " 



gieichuug eine Gleichung von der Form 



1. Ordnung. " 



y'=(o{x, y), 



die jedesmal das zu einem Punkte (rr, y) gehörige Linienelement 

 {x, y, y) giebt. Es ist dies aber eine Differentialgleichung erster 

 Ordnung mit oo^ Integralcurven. Mithin lässt die Gruppe die Schar 

 dieser oo^ Integralcurven, die von jenen oo^ Linienelementen eingehüllt 

 werden, invariant. 



Sind mit p mehrere Linienelementfe invariant verknüpft, so führt 

 jedes zu einer invarianten Schar von cx)^ Linienelementen, indem man 

 "^sch"^ ^^^auf jedes alle Transformationen der Gruppe ausübt. Demnach lässt 

 v.ooicurren.die Gruppc in dem dritten der obigen Fälle gerade eine bez. zwei und 

 im vierten sogar unendlich viele Scharen von oo^ Curven in Ruhe. 

 Im zweiten Falle dagegen existiert nur eine Schar. Denn es ist ein- 

 leuchtend, dass umgekehrt jede invariante Schar von oo^ Curven mit 

 jedem Punkte ein Linienelement invariant verknüpft. 



Mithin ist die r-gliedrige Gruppe im zweiten, dritten und vierten 

 Falle imprimitiv. Daher folgt: 



Satz 5 : Bei allen denjenigen Transformationen einer primitiven 

 r-gliedrigen Gruppe der Ebene, welche einen Punkt {x^, y^) allgemeiner 

 Lage invariant lassen, werden die durch diesen Punkt gehenden Linien- 

 elemetite (x^, iy^, y') vermöge der allgemeinen projectiven Gruppe der ein- 

 fachen Mannigfaltigkeit y transformiert. Ist dagegen die r-gliedrige 



