Ansatz zur Bestimmung der primitiven Gruppen der Ebene. 345 



Gruppe imprimitiv, so ist diese projective Gruppe in y höchstens zwei- 

 gliedrig. 



Oder kürzer: 



Satz 6 : Eine Gruppe der Ebene ist dann und nur dann primitiv, 

 wenn sie die Linienelemente durch einen festgehaltenen Punkt allgemeiner 

 Lage gerade dreigliedrig transformiert. 



Und ausserdem : 



Satz 7: Es giebt gerade so viele Scharen von oo^ Curven (p(x, y) 

 = Const., die hei einer transitiven Gruppe invariant bleiben, als es bei 

 der Gruppe mit einem FunUe allgemeiner Lage invariant verbundene 

 Linienelemente giebt. 



§ 2. Ansatz zur Bestimmung der primitiven Gruppen der Ebene. 



Wir werden die Ergebnisse des vorigen Paragraphen zur Be- 

 stimmung aller endlichen primitiven Gruppen der Ebene verwerten. 



Ist die r-gliedrige Gruppe, von der im vorigen Paragraphen die 

 Rede war, primitiv, so ist sie auch transitiv, und daher ist die damals 

 vorgekommene Zahl Q = r — 2. Die Gruppe enthält also gerade r — 2 

 von einander unabhängige infinitesimale Transformationen erster oder 

 höherer Ordnung, sowie zwei von nullter Ordnung. Aus den beiden 

 letzteren kann man durch lineare Vereinigung immer zwei von der 

 besonderen Form ableiten : 



UJ = p-h---, ü,f=q -{-■-', 



während also TJ.^f . . . Urf von erster oder höherer Ordnung in x — a;" 

 und y — y^ angenommen werden können. Wie oben, werden wir nur 

 die Glieder niedrigster Ordnung jedesmal hinschreiben. 



Nun gilt der folgende Satz, von dem wir schon in § 4 des 

 12. Kapitels einen Specialfall kennen lernten: 



Satz 8: Der Klammerausdruck aus einer infinitesimalen Trans- Kiammor- 



. . r\ ^ • I 7/-17 1 ^ ausdruck 



formation fi'*^ und einer v^"'' Ordnung ist von der Ordnung (i -j- v — 1 inf. xrausf 

 oder von höherer Ordnung. Ordnung. 



Ist nämlich Uf von /«,*", Vf von i/*®' Ordnung, so ist in 



{ur)= üivf)-v(uf) 



das erste Glied U{Vf) von der Ordnung ^ -\- {v — 1), da die Ordnung 

 von Vf durch die in ü{Vf) vorkommende Differentiation um Eins er- 

 niedrigt wird. Entsprechend ist V(Uf) von der Ordnung v -\- {(i — 1). 

 (C/F)*hat demnach auch die Ordnung (i -{- v — 1 oder — wenn die 

 Glieder dieser Ordnung sich gerade fortheben — eine höhere Ordnung. 



