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Kapitel 14, § 2. 



Wenn insbesondere die infinitesimalen Transformationen nullter 

 Ordnung 



p-\ , q-i — 



mit einer von jti*^' Ordnung üf combiniert werden, so ist nach un- 

 serem Satze die Ordnung des Klammerausdruckes mindestens ^i — 1. 

 Insbesondere ist (p -\- • -, Uf) von höherer als (jul — 1)*«' Ordnung nur 

 dann, wenn in üf die Glieder /i**«'^ Ordnung von x frei sind. Alsdann 

 , enthalten sie aber sicher y, sobald nur ^ > ist. Mithin ist in diesem 

 Falle ((? + ••, Uf) von gerade (^ — l)ter Ordnung. 



Satz 9 : Ist üf eine infinitesimale Transformation /i,'«'' Ordnung und 

 ist ^> 0, so ist wenigstens eine der leiden infinitesimalen Transforma- 

 tionen 



{P + ", üf) und (g + .., Uf) 



von gerade (ft — l)'*'" Ordnung. 



Nehmen wir an, unsere r-gliedrige primitive Gruppe enthalte eine 

 infinitesimale Transformation s**"' Ordnung, in der 5 > sei, so folgt, 

 da die Gruppe p -\- • • und g + • • enthält, dass sie nach diesem Satze 

 auch eine von gerade (s — 1)*«'^ Ordnung enthält. Ist s — 1 > 0, so 

 enthält sie ferner auch eine von gerade (s — 2)*®' Ordnung u. s. w. 

 Sie enthält also ausser den beiden von nullter Ordnung sicher eine 

 von erster, eine von zweiter, . . . eine von s^^^ Ordnung. Diese s + 1 

 infinitesimalen Transformationen sind offenbar von einander unab- 

 hängig. Da die Gruppe nur r von einander unabhängige enthält. 



Maximal- gQ ist 

 ordnuncf. 



5 + 1 ^ r, 



also s an eine endliche obere Grenze gebunden. Wir werden nachher 

 sehen, dass s sogar höchstens gleich 2 sein kann. 

 i^?°5"a"? ^^^ ordnen nun die infinitesimalen Transformationen der Gruppe 



"cfruppl"'^" eine Reihe nach ihren Ordnungszahlen: Zunächst haben wir zwei 

 von nullter Ordnung p -\- • • und q -{- • • . Aus den r — 2 übrigen 

 von erster oder höherer Ordnung und den aus ihnen linear ableitbaren 

 wählen wir so viele wie möglich von einander unabhängige von erster 

 Ordnung aus, derart dass sich aus ihnen keine von höherer Ordnung 

 linear ableiten lassen. So ergeben sich gewisse r^ infinitesimale Trans- 

 forrnationen erster Ordnung. Die übrigen r — r^ — 2 infinitesimalen 

 Transformationen lassen sich dann durch passende additive Hinzu- 

 fügung jener von erster Ordnung mit constauten Coefficienten sämt- 

 lich als solche von zweiter oder höherer Ordnunjj darstellen. Wäre 

 dies nicht möglich, so hätten wir eben nicht alle jene obigen von 



