Ansatz zur Bestimmung der primitiven Gruppen der Ebene. 347 



erster Ordnung schon abgesondert. Aus diesen r — r^ — 2 Trans- 

 formationen und den aus ihnen linear ableitbaren, die ja auch von 

 zweiter oder höherer Ordnung sind, wählen wir so viele wie möglich 

 von einander unabhängige von zweiter Ordnung aus, der Art, dass sich 

 aus ihnen keine von höherer als zweiter Ordnung linear ableiten 

 lässt, u. s. w. Dieser Process muss einmal ein Ende haben bei ge- 

 wissen Transformationen s*^' Ordnung, da s an eine endliche obere 

 Grenze gebunden ist. 



Bei dieser Anordnung erhalten wir sicher gerade r von einander 

 unabhängige infinitesimale Transformationen der Gruppe. Aus den 

 r — 2 letzten unter ihnen sind alle diejenigen linear ableitbar, die den 

 Punkt {x^, /) in Ruhe lassen und eine (r — 2)-gliedrige Untergruppe 

 erzeugen. 



Nach Satz 5 des vorigen Paragraphen müssen die Transforma- 

 tionen dieser (r — 2j-gliedrigen Untergruppe die Linienelemente durch 

 den Punkt (x^, /) gerade dreigliedrig transformieren. Nach den im 

 Anschluss an Satz 3 im vorigen Paragraphen gemachten Bemerkungen 

 kommen ferner hierbei nur die infinitesimalen Transformationen erster 

 Ordnung, insbesondere von diesen nur die Glieder erster Ordnung in 

 Betracht, die wir als die verMrzten infinitesimalen Transformationen 

 erster Ordnung bezeichneten. 



Nun können wir voraussetzen, dass der Anfangspunkt ein Punkt 

 allgemeiner Lage für die gesuchte primitive Gruppe ist. Denn wäre 

 er das nicht, so könnten wir durch Einführung neuer Veränderlicher 

 irgend einen anderen Punkt in den Anfangspunkt verlegen. Dabei 

 würde die Gruppe nach Satz 5 in § 4 des 6. Kap. wieder in eine Gruppe 

 übergeführt. 



Demnach dürfen wir ä;" = / = annehmen. Alsdann müssen 

 also die verkürzten infinitesimalen Transformationen erster Ordnung ^«J*^'/^*« 

 die Linienelemente durch den Anfangspunkt, folglich auch — da die 

 verkürzten Transformationen projectiv, insbesondere linear und homo- 

 gen sind — die Strahlen durch den Anfangspunkt gerade dreigliedrig 

 transformieren. Dies geschieht aber nach § 4 des 5. Kap. nur bei 

 der allgemeinen und bei der speciellen linearen homogenen Gruppe in 

 X, y. Somit liegen zwei Möglichkeiteu vor: Die infinitesimalen Trans- 

 formationen nuUter und erster Ordnung der gesuchten Gruppe haben 

 entweder die Form: 



L i) + --, g + --, m + '-, xp-yi-^"^ yp + '- SL^°* 



oder die Form: 



IL i) + --, 2 + --, x^-\---, xp-yq + -', yp + '-, xp-\ryq'\-"' 



