348 Kapitel 14, § 2. 



Hinzu treten noch Transformationen höherer Ordnung. Die Ordnung 

 ist, wie wir sahen, an eine endliche obere Grenze gebunden. Wir 

 werden jetzt sehen, dass höchstens Transformationen zweiter Ordnung 

 vorkommen. 



Es sei nämlich 



eine in der Gruppe enthaltene infinitesimale Transformation von der 

 Maximalordnung s; es sollen also auch |, und rj, gewisse homogene 

 ganze Functionen 5*^"^ Grades von x, y sein, die nicht beide ver- 

 schwinden. Sei also, da bisher cc und y gleichberechtigt aufgetreten 

 sind, etwa ^s ^1= 0. Die höchste in |^ auftretende Potenz von y sei die 



¥^ (k ^ s). Combinieren wir Lp -\- V^^ -\ mit xq -\- ■ • •, die ja 



in der Gruppe in beiden Fällen vorkommt, durch Klammeroperation, 

 so erhalten wir eine Transformation der Gruppe von mindestens 

 (s + 1 — 1)*^% also s*^' Ordnung, nach Satz 8. Da s die Maximal- 

 ordnung ist, so ist der Klammerausdruck gerade von s*®' Ordnung oder 

 aber Null. Es kommt: 



5|, ( dri \ 



g- ist m y von {li — ly^"^ Ordnung, wenn y überhaupt in |, auftritt, 



also Ä; 4= t) ist. Die Gruppe enthält also hiernach eine Transformation 

 ^ter Ordnung, in der y in Coefficienten s*^' Ordnung von p nur in 

 (/*; — ly^^ Potenz auftritt. Denselben Schluss können wir wiederholen. 

 Dadurch finden wir endlich, dass die Gruppe auch eine gewisse infini- 

 tesimale Transformation 5*" Ordnung 



IsP + %q-\-'- 



enthält, in der 1, e|e und frei von y ist. Sie muss daher in der 

 Form angenommen werden : 



x'p + ri,q-{ . 



Klammeroperation mit p -\- • • -, die ja in beiden Fällen zur Gruppe 

 gehört, giebt eine Transformation von (s — 1)*®' Ordnung : 



soC'-^p + n^-xq H , 



deren Combination mit x'p + i?«2 + • • • nach Satz 8 eine von min- 

 destens (s -f s — 1 — l)t«, also (2s — 2)*« Ordnung liefert, nämlich 

 diese : 



— sx^'-^p + ^2. -2g H , 



