Ansatz zur Bestimmung der primitiven Gruppen der Ebene. 349 



die nicht identisch verschwindet. Nun aber ist s die Maximalordnung 

 in der Gruppe, daher: 



^S ^ ^ Sf Maximal- 



also °'^ST 



Satz 10 : Eine primitive Gruppe der Ebene enthält hei passende)' 

 Waid der Veränderlichen mir infinitesimale Transformationen nullter, 

 erster und höchstens zweiter Ordnung. 



Enthält die Gruppe wirklich solche von zweiter Ordnung, so ^,"^^^^*°^^ 

 dürfen wir eine von diesen nach dem obigen in der Form annehmen: 



Vif^ x^p -\- {ax^ + ^^y + (^y^)Q. + • • •• 



Ihre Combination mit xp — 2/2 + ' ' '; die in beiden Fällen I und II 

 in der Gruppe vorkommt, liefert 



Fg/"^ x^p + (3aic^ + hxy — cy^)q + • • •. 

 Folglich enthält die Gruppe auch die aus F^jCund Fg/" linear ableitbare: 



V,f= \{VJ- VJ) = (- ax' + cy^<l + • • •, 



die mit xp — ^/ö + • • combiniert liefert: 



rj^{-?>ax^-cf)(l-\-'--, 



sodass die Gruppe auch die aus V^f und VJ linear ableitbaren 

 enthält : 



ax^q^-\ , cy^q_-\ ; 



also auch die aus diesen und Fj/' linear ableitbare: 



VJ-=x^p + hxyq -\ . 



Bilden wir ihren Klammerausdruck mit der in der Gruppe enthaltenen 

 VV 'V ' ' '■) so kommt: 



F6/-EE(2-&)a;^p + &^^^ + ---, 



und, wenn diese mit Fg/" combiniert wird: 



(1 — &)(2 — l)x'yp + &(1 — V)xfq H . 



Diese infinitesimale Transformation ist von dritter Ordnung. Weil die 

 Gruppe nach Satz 10 keine von dritter Ordnung enthält, so ist folglich: 



(1 — fe)(2 — &) = 0, &(1 - 6) = 0, 

 daher l) = \. 

 Jetzt ist 



Dann wird auch: 



Vef=xyp-{- y-q-\ . 



