350 Kapitel 14, §§ 2, 3. 



Combination von Vr,f mit p -\- • • •, die der Gruppe auch zugehört, 

 liefert 



2xp -\-yq-\ . 



Da die Gruppe in beiden Fällen xp — yQ.-\- ' ' - enthält, so enthält 

 sie folglich auch die aus den beiden letzten linear ableitbare 



^p + y<i-\ 7 



d. h. es liegt gerade der Fall II vor. 



Wir haben also gefunden : 



Nur im Falle II können noch infinitesimale Transformationen 

 zweiter Ordnung auftreten, nämlich die beiden: 



VJ= x^-p -{-xygi-\ , VJ~ xyp + y^q -\ . 



Wir können nun einsehen, dass in diesem Falle weiter keine in- 

 finitesimalen Transformationen zweiter Ordnung vorkommen. Denn 

 käme: 



(Ax^ + Bxy + Öy^)p + (Dx^ + Exy + Fy^)q -j 



vor, so könnten wir aus ihr, aus F5/" und Fg/" linear ableiten: 

 Cfp + (Dx' + Exy + Fy')q + • • -, 



sie also durch diese ersetzen. Ihre Combination mit V^f und V^f 

 muss nach Satz 8 und 10 Null ergeben. Bildet man diese Klammer- 

 ausdrücke, so findet man, dass C, D, E, F Null sind, wie der Leser 

 selbst ausrechnen möge. 



Drei Fälle. Nach allem Diesen haben wir nunmehr drei Fälle zu unter- 



scheiden. Die Gruppe enthält entweder: 



A)i) + --, q + --, xq-\---, xp — yq -]-'•, yp + -' 



und keine weiteren, oder aber: 



^) p + ", Q + --, ^q + '-, xp — yq + '-, yp-\---, xp-\-yq-]r'- 



und keine weiteren, oder endlich: 



C)i> + '-, g + --, xq-\---, xp — yq -{-■-, yp + • -^ 

 xp-{-yq + --, x^'p-^r xyq+ '-, xyp -{- y^q -\- -- 



und keine weiteren von diesen unabhängigen infinitesimalen Trans-^ 

 formationen, sie ist also 5-, 6- oder 8-gliedrig. 



Wenn wir die durch Punkte angedeuteten Glieder überall fort-i 

 lassen, so liegen offenbar drei uns schon bekannte Gruppen vor. Es 

 giebt folglich in der That in jedem der drei Fälle wenigstens eine 

 primitive Gruppe. Im nächsten Paragraphen werden wir zeigen, dass 



