Bestimmung der primitiven Gruppen. 351 



sich alle primitiven Gruppen durch Einführung zweckmässiger Varia- 

 bein gerade auf die so erhaltenen Gruppen zurückführen lassen. 



Zunächst aber hat sich ergeben: 



Satz 11: Es (jiebt in der Ebene nur 5-, 6- und 8-gliedrige primi- 

 tive Gruppen. 



§ 3. Bestimmung der primitiven Gruppen. 



Ehe wir an die Erledigung der drei Fälle A, B, C gehen, schicken 

 wir einen Satz voraus, der dabei gebraucht werden wird: 



Satz 12: Stehen zivei infinitesimale Transformationen ü^f und U^f nnifnitHU. 

 der Ebene mit verschiedenen Fortschreitungsrichtungen in der Beziehung 



so lässt sich die Grupiie TJ^f, U^f durch Einführung passender Variabein 

 auf die Form 



bringen"^). 



Zunächst nämlich lassen sich bekanntlich solche Veränderliche 



einführen, dass 



UJ = p 

 wird. Ist dann 



u^f= ip + nq, 



so soll also sein: 



sodass I und ri von x frei sind. Auch ist »j Ep 0, da sonst U^f und 

 U^f dieselbe Fortschreitungsrichtung hätten. Wir können folglich 



/ — als neues y einführen. Dann wird 



UJ = p, U^f = Gi{y)p -\- q. 



Wenn wir schliesslich x — Jfody als neues x benutzen, so kommt, wie 

 gewünscht : 



UJ = p, ÜJ=q. 



Eine zweite Vorbemerkung ist diese: Eine infinitesimale Trans- 

 formation Q^^^ Ordnung bleibt von q^" Ordnung, wenn man additiv mit 

 Constanten Coefficienten solche von höherer Ordnung hinzufügt. Wir 

 werden dies öfters in der Folge thun : Zu den infinitesimalen Trans- 

 formationen der Gruppe fügen wir öfters additiv mit constanten Coeffi- 



*) Vgl. „Diffgln. m. inf. Tri'.", § 2 des 18. Kap. 



