352 Kapitel 14, § 3. 



cienten infinitesimale Transformationen der Gruppe von höherer Ord- 

 nung hinzu, wodurch ja wieder Transformationen hervorgehen, die der 

 Gruppe angehören. 



'^B^zeiciT-^* Endlich wollen wir noch, um die Betrachtungen übersichtlicher 

 nungsweise. 2;u gestalten, ciuc eigenartige Bezeichnung der infinitesimalen Trans- 

 formationen, von denen uns nur die Glieder niedrigster Ordnung be- 

 kannt sind, einführen. Z. B. im Falle A des vorigen Paragraphen 

 enthält die gesuchte Gruppe gerade fünf infinitesimale Transforma- 

 tionen : 



P + -; a-\--; ^Q + ", ^p — yq-h--, yp + --- 



Hierin sind die nicht geschriebenen und durch Punkte angedeuteten 

 Glieder als ganz bestimmte, uns freilich noch unbekannte Potenzreihen 

 zu denken. Wollten wir diese infinitesimalen Transformationen etwa 

 mit Ulf. . U^f bezeichnen, so würde jede (UiUk) mit einem ganz be- 

 stimmten Gliede niederster Ordnung beginnen. Um dieses zu kennen, 

 müssten wir auf die obige Bedeutung der Ut und C4 zurückschauen, 

 nämlich auf ihre Anfangsglieder. Übersichtlicher ist es daher, die fünf 

 infinitesimalen Transformationen der Gruppe in dieser Weise symbo- 

 lisch zu bezeichnen: 



P, Q, XQ, XP-YQ, YP. 



Wie gesagt sind diese Bezeichnungen rein symbolisch zu verstehen. 

 Sie haben den Vorteil, dass man aus ihnen sofort die Anfangsglieder 

 der Klammerausdrücke ablesen kann, indem man X, Y, P, Q für den 

 Augenblick als ic, y, j), q auffasst und die Klammern berechnet. So 

 giebt die dritte und vierte combiniert: 



{XQ, XP- YQ) = — 2xq + --^ 



oder also, da der Klammerausdruck der Gruppe angehört, es aber in 

 der Gruppe nur eine ganz bestimmte mit xq beginnende infinitesi- 

 male Transformation giebt, nämlich die mit XQ bezeichnete: 



{XQ, XP- YQ) = -2XQ. 

 Combinieren wir P mit XP — YQ, so kommt: 



(p, xp-rö)=i) + .... 



Jede infinitesimale Transformation der Gruppe aber, die mit p be- 

 ginnt, hat offenbar die Form: 



P + Const. XQ-}- Const. {XP — YQ) -f Const. YP. 

 Es ergiebt sich also, da (P, XP — YQ) der Gruppe angehören muss: 

 (P, XP—YQ) = P-\- Const. XQ-]- Const. (XP— YQ) + Const. YP. 



