Bestimmung der primitiven Gruppen. 353 



Die Klammerausdrücke vereinfachen sich oft dadurch, dass man 

 passende lineare Combinationen der infinitesimalen Transformationen 

 als neue infinitesimale Transformationen benutzt, sowie dadurch, dass 

 vermöge der zwischen den Klammerausdrücken bestehenden Jacobi'schen 

 Identitäten noch auftretende unbekannte Constanten bestimmte Werte 

 erhalten. Die Ausführung dieser Vereinfachungen nennen wir das Nor- Normieren. 

 miereti der infinitesimalen Transformationen. 



Wir gehen nun zur Einzelbehandlung unserer drei Fälle A, B, C 

 des vorigen Paragraphen über: 



A. P, Q, XQ, XF-YQ, YP. . ,Sge 



Gruppe. 



Zunächst ist, wie bemerkt: 



{XQ, XP—YQ) = -2XQ. 



Analog kommt: 



{XQ, YP) = XP — YQ, {XP — YQ, YP) = — 2 YP. 



Ferner ist, wie bemerkt, zu setzen : 



(P, XP- YQ) = P+a,XQ + a,{XP—YQ) + a,YP. 



«1, «2? "3 bedeuten unbekannte Constanten. Dasselbe gilt von den 

 später mit kleinen griechischen Buchstaben bezeichneten. Dem gegen- 

 über bezeichnen wir mit kleinen lateinischen Buchstaben a^, a^, % u. s. w^ 

 gewisse willkürliche Constanteu. Statt P dürfen wir offenbar 



P = P + a,XÖ -f «^(XP - YQ) + a, YP 

 als infinitesimale Transformation der Gruppe einführen. Nun ist: 

 (P, XP~YQ) = P-\- a,XQ + cc,{XP - YQ) + a, YP 

 — 2a^XQ-{-2a^YP 



I =P+{^,-'^a,)XQ-^{a,-a,){XP-YQ) + 



+ («3 + «3) YP. 

 Setzen wir «j = — a^, a^ = a^, «3 == — «3, so wird 



{P,XP-YQ) = P. 

 Von nun ab wollen wir unter P die neue infinitesimale Transformation 

 nullter Ordnung P verstehen. Dann ist also 



(P, XP - YQ) = P 

 Entsprechend führen wir ein neues Q ein, sodass 

 {Q, XP-YQ)EEE-Q 



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