354 Kapitel 14, § 3. 



wird. Nun hat (P, YP) kein Glied nullter Ordnung, also ist zu 



setzen : 



(P, YP) = ß,XQ-{- ß,(XP - YQ) + ^3 YP. 



Mit Hülfe der in § 3 des 12. Kap. abgeleiteten Jacobi'schen Identität 

 können wir nachweisen, dass ß^^ = ß^ = ß.^ = ist. Bilden wir näm- 

 lich die sicher bestehende Identität: 



((P, YP)XP-YQ) + {{YP, XP— YQ)P) + i(XP-YQ,P)YP)=0 



unter Benutzung der obigen Klammerausdrücke, so ergiebt sich die 

 Bedingung: 



- 2ß,XQ + 2ß,YP-3ß,XQ-Sß,(XP- YQ) - 3ß,YQ = 0, 



also ßi = ß2 = ßs = 0, sodass wir haben : 



(P, YP) = 0. 

 Entsprechend kommt: 



{Q,XQ) = 0. 

 Ferner ist zunächst : 



(P, XQ)=Q-^ y,XQ + Y,(XP - YQ) + y, YP. 

 Die Identität zwischen P, XQy XP — YQ giebt ohne weiteres 



J'i =^ 72 = J^3 = ö- Somit ist: 



(P, XQ) = Q 

 und analog 



(Q, YP) = P 



Schliesslich ist noch (P, Q) zu normieren. Vorerst haben wir allge- 

 mein anzunehmen: 



(PQ) = d,P+ d,Q + d,XQ -f d,(XP- YQ) + d,YP 



Die Identität zwischen P, Q und XP — YQ liefert dj = dg = ^3 = ^ 

 und die zwischen P, Q und XQ noch ^'4 = 0, also: 



{P, Q)^o. 



Hiermit ist die Normierung beendet. Man sieht, dass die infini- 

 tesimalen Transformationen der Gruppe sich gerade so combinieren 

 wie die verkürzten p, q, xq, xp — yq, yp. Wir werden zeigen, dass 

 sie durch Einführung passender Variabelu auch gerade auf diese ver- 

 kürzten reduciert werden können: 



P und Q haben die Formen p -{- • •, 2 H" * "; ^^^o im Anfangs- 

 punkt und daher überhaupt in Punkten allgemeiner Lage verschiedene 

 Fortschreitungsrichtungen. Überdies ist (P, ^) e^ 0. Nach Satz 12 

 lassen sich also neue Veränderliche x, y derart einführen, dass 



P = p, Q^q 



