356 Kapitel 14, § 3. 



Benutzen wir die rechte Seite als neues P, so kommt offenbar wegen 

 der drei vorstehenden Klammerausdrücke 



(P, XP-^YQ) = P. 

 Entsprechend dürfen wir annehmen 



{Q, XP+YQ)=Q. 



Nun besteht die Identität: 



((P, YP)XP-\- YQ)-j-{{YP, XP+YQ)P) + i(XP+YQ, P)YP)^0. 



Hierin ist das zweite Glied identisch Null und das letzte gleich 

 — {P, YP), während das erste deshalb verschwindet, weil (P, YP) 

 von erster Ordnung ist und XP -\- YQ mit infinitesimalen Transfor- 

 mationen erster Ordnung der Gruppe combiniert stets Null liefert. 

 Somit kommt: 



(P, YP) = 0, 

 und analog ist 



(Q, XQ) = 0. 



Ähnlich kommt, indem man jedesmal die Identität mit XP -f- YQ 

 bildet : 



(P, XQ)^Q u. s. w., 



kurz alle infinitesimalen Transformationen sind normiert derart, dass 

 die auftretenden zunächst noch unbekannten Constanten Null werden. 

 Wie im Falle A. können wir solche Veränderliche einführen, dass 

 P und Q die Formen p und q annehmen. Aus (P, XP -{- YQ) ^ee 

 P, {Q, XP -{-YQ)=Q folgt dann sofort 



XP+YQ = (x + a)p ^{y-\-ß)q. 



Benutzen wir nun x -\- a, y -\- ß als Veränderliche x, y, so wird 

 mithin : 



P=p, Q = q, XP-\-YQ = xp-\-yq. 



Wenn eine infinitesimale Transformation ^p -{- rjq mit xp -\- yq com- 

 biniert Null liefert, so sind, wie man sofort sieht, | und rj homogen 

 von erster Ordnung in x, y. Solche Transformationen sind nun XQ, 

 XP—YQ und YP. Da nun {Q, XQ) = ist, so folgt, dass in XQ 

 die Coefficienten von p und q frei von y, also von der Form Const. x 

 sind. Aus (P, XQ) ^ Q folgt dann, dass XQ sich auf xq reduciert. 

 Analoges gilt von den anderen infinitesimalen Transformationen. Somit 

 geht der Typus hervor 



p q xq xp — yq yp xp -f yq 



