Bestimmung der primitiven Gruppen. 357 



C. P, Q, XQ, XP- YQ, YP, XP+ YQ, X'P+XYQ, XYP+ Y'Q. 



Da diese Gruppe keine infinitesimalen Transformationen von höherer 

 als dritter Ordnung enthält, aber die Klammerausdrücke der Gruppe 

 angehören müssen, so folgt zunächst, dass die Klammerausdrücke von 

 X^P -i-XYQ und XYP-\-Y^Q mit einander und mit XQ, XP — YQ, 

 YP, XP + YQ sämtlich vollkommen bestimmt sind , da sie sich ge- 

 rade so durch einander ausdrücken, wie die von x^p-\-xyq, xyp-j-y-q 

 mit einander und mit xq, xp — yq, yp, xp -\- yq. Dies Ergebnis 

 bleibt offenbar bestehen, wenn man zu den infinitesimalen Transfor- 

 mationen erster Ordnung additiv mit constanten Coefficienten die von 

 zweiter Ordnung hinzufügt. Da wir dies factisch thun werden, so ist 

 diese Bemerkung von Wichtigkeit. Wir haben jetzt die infinitesimalen 

 Transformationen erster Ordnimg mit einander zu combinieren. Es ist 

 {XQ, XP -\- YQ) von höherer als erster Ordnung, daher : 



{XQ, XP + YQ) = a,{X'P + XYQ) + a,{XYP + Y'^Q). 

 Benutzen wir anstatt XQ: 



XQ = XQ-^ a,{X'P + XYQ) + a,{XYP + Y'^Q), 



so wird 



{XQ, XP-[-YQ) = 0. 



Wir nehmen darum an, es sei schon: 



{XQ,XP-^rYQ) = 0, 

 entsprechend 



{XP— YQ, XP -f YQ) = 0, {YP, XP + YQ) = 0. 



Ferner ist zunächst : 



{XQ, XP-YQ) = -2XQ + ß,{X'P-\-XYQ) + ß,{XYP -\- Y'Q). 



Indem wir aber die Identität mit XP -\- YQ bilden, finden wir 

 ß^^ ß^ = 0, also 



{XQ, XP-YQ) = -2XQ, 

 entsprechend: 



{YP, XP —YQ) = 2 YP, {XQ, YP) = XP—YQ. 

 Weiterhin ist vorerst: 



{P, XP -f 70 = P + Y,XQ -f Y,{XP - YQ) -f ^3 ^P + 

 + Y,{^P + m + ^xi^'F + ^YQ) + d,{XYP -f Y^Q). 

 Fohren wir 



P^P^ Y,XQ + Y,{XP - YQ) -^ysYP+ y.i^P + YQ) + 

 + ~ d,{X'P -f X rg) -f i d,{XYP + Y'Q) 

 ein, so kommt: 



Acht- 

 gliedrigo 

 Gruppe. 



