358 Kapitel 14, §§ 8, 4. 



(P, XF+YQ)eeeP. 

 Daher nehmen wir an, es wäre schon: 



(P, XP -\-YQ) = P 



und analog: 



{Q, XP + YQ) = Q. 



Ferner ist zunächst: 



(P, X'P + XYQ) EE I (XP + YQ) + A (XP - FÖ) + 

 + s,(X'P + XT^) 4- s,{XYP + 7^0. 

 Aber die Identität mit XP-\-YQ giebt g^ = e^ = 0, also: 



(p, x=^p + xr(?) = |(xp+r(?)+|(xp-r0. 



Ebenso lassen sich alle übrigen Klammerausdrücke mit Hülfe der 

 Identität mit XP -f- YQ sofort derart bestimmen, dass sie sich gerade 

 so durch die P, Q, XQ u. s. w. ausdrücken wie die Klammerausdrücke 

 der p, q, xq u. s. w. durch diese. 



Durch Einführung passender Variabein lassen sich nun wie im 

 Falle B. die infinitesimalen Transformationen nullter und erster Ord- 

 nung auf die verkürzte Form bringen: 



p q xq xp — yq yp xp -f- yq. 

 Ist nun 



X^P + XYQ ~ l{x, y)p + ri(x, y)q, 

 so folgt aus 



(P, X^P + XYQ) = I (XP + YQ) + i {XP-YQ), 



(Q,X'P + XYQ) = XQ , 



sofort : 



^P+^q = ^{xp-^yq)-Jr ^(xp - yq), 



xy -\- ß 



zu setzen wäre. Weil aber p und q als selbständige infinitesimale 

 Transformationen in der Gruppe auftreten, so dürfen die Constanten 

 « und ß gestrichen werden, sodass 



