Tafel aller endl. continuierl. Gruppen der Ebene mit paarweis inversen Transf. 359 

 X^P 4- XYQ = X^p + ^yQ 



wird. Analog kommt 



XYQ-j-Y'Q = xyq-{-fq. 

 Also erhalten wir den Typus: 



p q xq xp — yq yp xp-\-yq x^p-\-xyq xyp-\-y^q 



die allgemeine projective Gruppe. 



Hiermit ist die Bestimmung der primitiven Gruppen der Ebene 

 beendet. Hervorgehoben sei, dass in den beiden letzten Fällen die Nor- 

 mierung deshalb verhältnismässig kurz ist, weil die Gruppe in diesen 



Fällen eine infinitesimale Transformation von der Form xp -{- yq-\ 



enthält. Bei der Bestimmung aller primitiven Gruppen im Räume 

 {x, y, 0), mit der wir uns nicht beschäftigen werden, sind ganz analog 



auftritt. Auch ein anderes Ergebnis lässt sich auf den Raum über- 

 tragen: Die Maximalzahl der Ordnung der infinitesimalen Transfor- 

 mationen einer primitiven Gruppe ist höchstens zwei. 

 Hier wollen wir nur noch den Satz aussprechen : 

 Satz 13 : Jede primitive Gruppe der Ebene kann durch Einführung 

 passender Veränderlicher in eine projective Gruppe übergeführt werden. 



§ 4. Tafel aller endliehen contimilerlichen Gruppen der Ebene 

 mit paarweis inversen Transformationen. 



Es ist selbstverständlich, dass die drei Typen von primitiven 

 Gruppen sämtlich wesentlich sind. Nicht so einfach ist die Frage 

 nach überflüssigen Gruppen bei den früher berechneten Typen der 

 imprimitiven Gruppen zu beantworten. Um zu entscheiden, ob sich 

 unter ihnen überzählige befinden, wird man sie zunächst in Klassen 

 einteilen derart, dass man von vornherein weiss, dass Gruppen, die 

 verschiedenen Klassen angehören, auch nicht durch eine Transforma- 

 tion in einander übergeführt werden können. Als Einteilungsprincip 

 bietet sich da naturgemäss die Feststellung der Anzahl invarianter 

 Curvenscharen (p{x, y) = Const. dar. In § 3 des 8. Kap. haben wir 

 eine Anleitung zu ihrer Bestimmung gegeben. Hat man hiernach die 

 Typen in einzelne Klassen untergebracht, so fragt es sich, ob Gruppen, 

 die derselben Klasse angeliören, in einander überführbar sind. Als 

 Hülfsmittel bei der Entscheidung dieser Frage bieten sich mehrere 



