366 Kapitel 15, § 1. 



Kapitel 15. 

 Beweis der drei Fundainentalsätze. 



Unter den grundlegenden Sätzen der Gruppentheorie giebt es drei, 

 die eine ausgezeichnete Stellung einnehmen*). Der erste handelt von 

 definierenden Differentialgleichungen einer Gruppe, der zweite ist das 

 Theorem über die Klammerausdrücke (UiUk) ^ UCiksüsf, das wir 

 früher als den Hauptsatz bezeichneten, und der dritte bezieht sich auf 

 die Relationen, die zwischen den Zusammensetzungsconstanten c^, 

 bestehen. 



Diese Sätze sollen hier in n Veränderlichen bewiesen werden. 

 Dabei bedarf es zunächst der Definition der endlichen continuierlichen 

 Gruppen in n Veränderlichen. 



_j5§ 1. Gruppe in n Veränderlichen. 

 Die n Gleichungen 



Xi'= fi{Xi, x^ . . Xn) (i = 1, 2 . . n) 

 Tranifor- bestimmen eine Transformation der n Veränderlichen x,, x^ . . x,, in die 



mation. . t , , 17 ^ " 



n Veränderlichen x^ , x^ . . Xn , wenn sie auch nach den erstereu auf- 

 lösbar sind, wenn also ihre Functionaldeterminante 



nicht identisch verschwindet. 



*) Lie stellte diese Sätze in den Jahren 1874 — 76 auf und gab in den Jahren 

 1876 — 78 die ersten Beweise derselben. Diese Beweise verbesserte er in den 

 Jahren 1888—89 in einigen Punkten. In zwei Abhandlungen in den Mathera. 

 Annalen, Bd. 35 und 38, hat neuerdings Herr Schur neue Beweise für die Fun- 

 damentalsätze der Gruppentheorie erbracht. Während es Lie in seinem oben 

 citierten Werke vor allem darauf ankam, nicht nur die Fundamentalsätze zu be- 

 weisen, sondern gleichzeitig dabei viele sonstige wichtige grnppentheoretische 

 Schlüsse zu ziehen, geht Schur darauf aus, jene drei Sätze möglichst kurz auf 

 rein analytischem Wege darzuthun. Die von uns zu gebende Darstellung der 

 Lie'schen Beweise wird jedoch zeigen, dass die ursprünglichen Lie'schen Beweise 

 an Kürze nichts zu wünschen übrig lassen, wenn sie von allen nicht direct nötigen 

 Nebenbetrachtungen losgelöst werden. Andererseits aber sind die Lie'schen Be- 

 weise, wie schon bemerkt, nur die analytischen Fassungen begrifflicher Be- 

 trachtungen, und hierin liegt unseres Erachtens ein Vorzug dieser Beweise. 



Wir werden nachher bei den einzelnen Fundamentalsätzen die Beweise mit 

 den von Schur gegebenen in Vergleich stellen. 



