Gruppe in n Veränderlichen. 367 



Enthalten die Transformationsgleichungen noch willkürliche Con- 

 stanten, etwa die r Parameter a^ . . a^: 



(1) 0Ci = fi(xi . . Xn, a^ . . ttr) (i = 1, 2 . . n), 



so bestimmen sie eine Schar von Transformationen. Diese Schar ent- T^ransfor" 

 hält gerade oo'" verschiedene Transformationen, wenn die Zahl r der '»»tioiien. 

 Parameter nicht erniedrigt werden kann, mit anderen Worten: wenn 

 es keine r — 1 Functionen 21^ . . %r—i von a^ . . «,. giebt derart, dass 

 n Gleichungen 



fi{x^ . . Xn, «1 . . ttr) = Fi(Xi . .Xn, St^ . . ^I^-l) 



(i == 1 , 2 . . w) 



identisch für alle Werte von x^^ . . Xn, a^ . . ar erfüllt werden können. 



Angenommen die Zahl der Parameter lasse sich erniedrigen. Dann 

 existieren solche r — 1 Functionen %^ . . %r—i von a^ . . a,.. Sie ge- 

 nügen als Lösungen f einer gewissen partiellen Differentialgleichung 

 erster Ordnung von der Form 



in der Xi ■ . Xr nicht sämtlich identisch Null sind. Da diese Differen- 

 tialgleichung natürlich auch von jeder Function von %^ . . %r—x und 

 x^ . . Xn erfüllt wird — denn x-^^ . . Xn treten in ihr gar nicht auf — ? 

 so wird sie auch von jeder der obigen Functionen F^ . . Fn befriedigt 

 werden, mithin auch von fi . . fn- 



Wenn umgekehrt fi-.fn eine partielle Differentialgleichung von 

 der obigen Form erfüllen, so lassen sie sich als Functionen von x^ . . x» 

 und r — 1 Lösungen Sl^ . . Sl^-i der Differentialgleichung darstellen, 

 also in der Form F^ . . Fn, sodass dann die Zahl r der Parameter auf 

 r — 1 erniedrigt werden kann. 



Demnach folgt: 



Satz 1 : Die Schar der Transformationen • 



Xi'= fi{Xy . . Xn, «1 . . ar) (i = 1, 2 . . r) 



mit r Parametern a^ . . ar besteht ans oo'' verschiedenen Transformationen 

 dann und nur dann, wenn es Iceine von x^ . . Xn freie partielle Differen- 

 tialgleichung erster Ordnung in f: 



2 ^-^ ^"i 





giebt, der die Functionen f . . fn sämtlich genügen. 



Wir sagen alsdann, dass die r Parameter a, . . ar der Schar (l^weaentuche 



'=' ' ' ^ ■' Parameter. 



sämtlich tvcsentlich seien. Künftig setzen wir voraus, dass in der That 



