368 Kapitel 15, §§1, 2. 



die Schar (1) cx)'' verschiedene Transformationen darstelle, anders aus- 

 gedrückt, dass alle r Parameter a^ . . ür wesentlich seien. (Vgl. Satz 1, 

 § 1 des 6. Kap.) 



Die Schar (1) von oo'" Transformationen bildet nun, sagen wir, 

 Gruppe, eine Gruppe, wenn stets die Aufeinanderfolge zweier Transformationen 

 der Schar einer einzigen Transformation der Schar äquivalent ist, 

 wenn also die Elimination der Zwischenwerte x^ . . xü aus 



Xi == li \X-^ . . Xn , 0]^ . . br) j 



Gleichungen von eben dieser Form liefert: 



(3) Xi= fi{x^ . .Xn, Ci . . Cr) (^ = 1, 2 . . w), 



in denen q . . c^ nur von a^ . . ür und \ . .hr abhängen : 



(4) Ck = (fkittj^ . .ttr, hl . .hr) (k= i, 2 . . r); 



Functionai noch andcrs ausgesprochen, wenn Functionalqleichunqen bestehen von 

 der J^orm 



(5) mix, 0)1) = n{x, (p{a, b)) («• = 1, 2 . . n), 



in der wir die Abkürzung «(mi . . m„, v^ . . Vr) = (o{u, v) durchgehend 

 benutzt haben. Diese abkürzende Angabe der Veränderlichen werden 

 wir öfters benutzen. 



Ist nun die hiermit auf mehrere Arten ausgedrückte Bedingung 

 '^"gIuppÖ^''®^^"^*^» ^o sagen wir, dass die Gleichungen (1) eine r-gliedrige Trans- 

 änderiichenformationsgruppe in n Veränderlichen darstellen. 



Liegt eine solche Gruppe (1) vor, so haben die Functionen cp^ . . (p,. 

 von «1 . .ar, &i . . hr ganz bestimmte Formen, die eben durch das an- 

 gegebene Eliminationsverfahreu aus (2) hervorgehen. Wir behaupten, 

 iinab- dass w. . . Wr vou einander unabhängige Functionen hinsichtlich &, . . b,. 

 der Fuuc- sind. Wir können» nämlich die Functionalgleichungen (5) wegen (1) 

 auch so schreiben: 



fi(x', b) = fiix, (p) (i=l, 2 ..n) 

 und aus ihnen durch Differentiation nach bi ableiten : 



-2 



Durchläuft l die Ziffernreihe 1, 2 . . r, so ergeben sich r Gleichungen, 

 die vermöge (1) identisch bestehen. Wenn nun die Determinante der 



-öT-, also die Functionaldeterminante der (p nach den &, ifjentisch ver- 



