Der erste Fundamentalsatz. 369 



schwände, so würde es r nicht sämtlich identisch verschwindende Func- 

 tionen ®y..&r von üy . . ttr, &i . . hr gcbcu — nämlich gewisse Unter- 

 determinanten dieser Functionaldeterminante — derart, dass unsere r 

 letzten Gleichungen mit ihnen multipliciert und addiert als rechte 

 Seite Null ergäben, sodass käme : 



W--T df(x, b) 



(6) ^&,(^a,b)^^-~=0 



und zwar für jeden Wert 1, 2 . . n von i. Diese Gleichungen müssten 

 nun identisch bestehen nicht nur in Folge von (1), sondern schon an 

 sich, da die Grössen x, a und h durch keine von den x freie Relation 

 gebunden sind. Geben wir schliesslich in (6) den a^ . . «r irgend 

 welche bestimmte Werte, so würden diese Gleichungen also nach 

 Satz (1) aussagen, dass in den fi{x' , h) die Parameter \. .hr nicht 

 sämtlich wesentlich wären, d. h. dass die Gleichungen 



a?."= fi{x^. . Xn, />i . .hr) (i = 1, 2 . . w) 



weniger als oo*" Transformationen darstellen. Dies aber ist ausdrück- 

 lieh ausgeschlossen worden. Mithin ist die gemachte Annahme des 

 Verschwindens der Functionaldeterminante der (p nach den h falsch, 

 und wir finden: 

 ■ .^Die r Functionen <py . . cpr sind von einander unabhängig hinsichtlich 



k . • &r. 



2. Der erste Fundamentalsatz. 



Die soeben besprochenen Functionen (p^ . . (pr sind nach (4) die 

 Werte von c^ ..<:>. Bis jetzt wurden nur x^ . . Xn, «, . . ar, h^ . . hr als 

 die unabhängig veränderlichen Grössen aufgefasst, von denen x^..Xn, 

 x^'..Xn\ c^ . . Cr Vermöge (2) und (4) abhängen. Nach dem soeben 

 Erkannten lassen sich aber auch x. . . x„, a. . . ür und c, . . Cr als will- Andere 



iiiiabnaug. 



kürlich veränderlich auffassen, während rc/. . Xn, x^' . . Xn , h^ . .hr ver- veränderi. 

 möge der ersten Gleichung (2) und vermöge (3) und (4) von diesen 

 abhängen. 



Diese neue Auffassung wollen wir den folgenden Betrachtungen nifferentia- 



® ° , tion der 



ZU Grunde legen. Alsdann giebt die Differentiation der Functional- runctiouai- 



° ^ gleichgn. 



gleichungen (5) oder 



(5') h{x,h)=n{x,c) ik=\,2..n) 



nach ak'. 



Lie, Continuierliche Gruppen. 24 



