Der erste Fundamentalsatz. 371 



in ihnen vorkommenden Zahlen \ . .br weiter hervorzuheben. Wir 

 können dann das Ergebnis so aussprechen : 

 ,Satz 2: Stellen die n Gleichungen 



x!= fi{xi . . Xn, a^ . .ttr) {i=\, 2 . .n) 



eine r-gliedrige Gruppe dar, so genügen x-[..xä, als Functionen von 

 x^..Xn, öl . • «r betrachtet, gewissen Differentialgleichungen von der F&rm: 



i(9) di,^'2 "^^^ ^"^1 • • ^'■^ ^'^ ^^^ • • ^"'^ 



{i=l,2..n, h=\,2 ..r). 



Die Determinante der ipjk ist nun nicht identisch Null, weil sonst 

 wegen (9) n Relationen zwischen den ^ beständen von der Form 



r o r 



---- 2 X*(«i • • «z-)^^ = (i = 1 , 2 . . w) , 



in denen die nicht sämtlich verschwindenden % vom Index i unab- 

 hängig wären, da sie gewisse Unterdeterminanteu der Determinante 

 der ii)jk wären. Nach Satz 1 des vorigen Paragraphen würden also 

 die Gleichungen xl=fi{x, a) gegen unsere Voraussetzung weniger als 

 oo'" Transformationen darstellen. Es ist also die Determinante: 



Wir können somit die Gleichungen (9) nach den Grössen ^ji auflösen. 

 Dadurch finden wir etwa: 



Andere 

 ^ ^ C x'- Form der 



ao) .... h{<. x,!) = ^^«..-K • • «^)äf ^'^«'" 



1 ^' 



(^•=1, 2..n, i=l, 2..r). 



Da diese Gleichungen wieder in der Form (9) auflösbar sind, so ist 

 auch die Determinante 



Es bestehen ferner zwischen den hi(x') keine n linearen homo- Keine 



' ^ ^ Relationen 



genen Relationen mit constanten Coefficienten e, . . er von der Form zw. den ^" 



° mit const. 



e,lu{x') -f • • • + er^riix) = (i = 1, 2 . . n), 

 da sonst aus (10) folgen würde: 



Coefficient 



X ■ 



l^'e,- «,-,(«) ^J^ = (/ = 1, 2 . . w). 



24* 



