372 Kapitel 15, § 2. 



Diese n Gleichungen mOssten durch die Functionen xl==fi{x, d) iden- 

 tisch erfüllt sein. Nach Satz 1 des vorigen Paragraphen ist dies 

 jedoch mit der Voraussetzung, dass a^ . . ür sämtlich wesentlich seien, 

 nur dann vereinbar, wenn einzeln jeder Coefficient in den obigen n 

 Gleichungen verschwände : 



r 



^j ejajkia^ . . ör) == (Ä- = 1, 2 . . r). 



Weil aber die Determinante der a^x- nicht identisch Null ist, so lassen 

 sich diese Forderungen nur durch die Annahme e^ = (?2 == • • = ^'r = 

 erfüllen. In der That ist also die Existenz obiger Relationen unmög- 

 lich. Diese Bemerkung wird später wichtig werden. 



umkeiirung. Wir gchcu uunmchr dazu über, den Satz (2), soweit es möglich 

 ist, umzukehren, um damit zum ersten Fundamentalsatze zu gelangen. 

 Es möge eine Schar von oo*" verschiedenen Transformationen 



(1) Xl= fi{x^ . . Xn, «1 . . ar) (* =- 1, 2 . . W) 



vorgelegt sein, und es sei vorausgesetzt, dass diese Gleichungen die 

 Xy . . Xn als Functionen von x^ . . Xn, a^ . . ür derart definieren, dass sie 

 identisch r • n Differentialgleichungen von der Form (9) genügen. Der 

 obige Beweis für das Nichtverschwinden der Determinante der tl)jk kann 

 — da er ja die Gruppeueigenschaft nicht benutzt — auch jetzt auf- | 

 recht erhalten werden. Die Determinante der i/jy^. ist also unter den 

 soeben gemachten Annahmen nicht identisch Null. Wir wissen daher, 

 dass bei den jetzigen Voraussetzungen die Functionen x^ . . xü von 

 x^ . . Xnj üy . . ar auch r - n Differentialgleichungen erfüU'eu von der 

 Form 



(10) ^ji {X^ . .Xn)=^^k aj;, (a^ . . flr) ^ 



X * 



(i= 1, 2..W, j=l,2..r), 



deren Determinante j ajk \ =|s ist. 



Ausserdem setzen wir noch voraus, dass gewisse Werte «j^ . . a/ 

 Voraus- der Parameter a-, . . a» in (1) substituiert die identische Transformation 



Setzung der , . 



Existenz Xi = Xi liefern, und dass die Determinante der a,i(a°) weder Null noch 



der ideiit. _ ' j \ / 



Transform. Unendlich ist. 



Unter diesen Voraussetzungen können wir beweisen, dass die 

 Schar (1) eine Gruppe bildet*). Zum Beweise suchen wir aus (10) 



^) Bei dem folgenden analytischen Beweis benutzen wir scheinbar einen 

 Kunstgriff. Die späteren in einer Note mitgeteilten synthetischen Betrachtungen 

 zeigen, dass wir eine sich von selbst darbietende Methode anwenden. 



