Der erste Fundamentalsatz. 373 



die Form der Functionen Xy . . Xn von aj . . a^ durch Integration ab- 

 zuleiten. Dazu empfiehlt es sich , an Stelle der r Parameter a, . . a^ 

 gewisse neue Parameter einzuführen, um die Gleichungen (10) mög- y,^^^^^^^ 

 liehst zu vereinfachen. Wir bewerkstelligen dies so: Es mögen A, . . A^ 

 irgend welche r bestimmte, aber beliebig gewählte Constanten sein. 

 Alsdann setzen wir das simultane System an: 

 7 ^ 



(11) '^ =^kjaj,(a, . . «,.) (Je =1,2.. r). 



Durch dieses werden a^ . . ar als Functionen einer neuen Hülfsgrösse 

 t, der Grössen Aj . . Ar sowie gewisser Integrationsconstanten definiert. 

 Um letztere in bestimmter Weise zu wählen, setzen wir fest, dass 

 a^. . ttr für t^t Anfangswerte ä^ . . är annehmen sollen, für welche die 

 Determinante der ccß{a) weder verschwindet noch unendlich gross 

 wird. Man sieht dann ohne weiteres ein, dass in den Integral- 

 gleichungen die Grössen Aj . . A^ und t nur in den r Verbindungen 



i,j = X^{t-t) 0'== l,2..r) 

 auftreten, denn die Gleichungen (11) ändern sich nicht, wenn man t 

 — und also auch t — mit einer Constanten q multipliciert und gleich- 

 zeitig Aj . . Ar durch q dividiert. Die Integralgleichungen können somit 

 in Form von Reihenentwickeluugen' so geschrieben werden : 



r 



(12) «i = äk + ^«i«;A-(^i . . är) -f • • • ^ ^aC«-, ■ • .«/-, («1 ' -är) 



(Ä: = l, 2..r), 



deren rechte Seiten ^k also nach steigenden Potenzen von (i^ . . ^r 

 fortschreiten. Die a^ . . a,- sind unabhängig von einander hinsichtlich 

 itj . . ft,-, da die Function aldeterminante 



^ I 

 d(ij I 



nicht identisch Null ist, weil sie sich für jiti = • • = ^r = auf die 



Determinante der ccjk{a) reduciert. 



Hiernach ist es uns erlaubt, anstatt a^ . . ür die r Grössen ^j . ^ir 



als Parameter in die Schar (1) einzuführen, indem wir die Werte (12) 

 i in (1) einsetzen. Durch Auflösung von (12) nach ^^ . . {ir lassen sich 

 I diese in der Form darstellen: 

 ; (13) fi; = Mj{ai . .ür, äi ..är) (j = 1, 2 . .r). 



Wenn wir diese neuen Parameter ju,, . . ^r in die Schar (1) ein- 

 ' führen, so werden x^' . . Xn gewisse Functionen von x^ . . x„, ^^ . . (ir 



