374 Kapitel 15, § 2. 



uud den bestimmt gewählt gedachten ä^ . . är. Weil die ^ von t ab- 

 hängen, so werden also auch x^ . . Xn gewisse Functionen der Hülfs- 

 veränderlichen t. Die Gleichungen (10) drückten Beziehungen zwischen 

 den Differentialquotienten der x^ . . Xn nach a^ . . ar aus. Diese gehen 



dx'- 

 nunmehr über in einfachere Gleichungen für die ~- Wenn wir näm- 



lieh in (10) j alle Werte 1, 2 . . r durchlaufen lassen, so erhalten wir 

 r Gleichungen. Wir multiplicieren sie der Reihe nach mit Aj . . A^ und 

 addieren sie dann. Dadurch ergiebt sich wegen (11): 



^^~T , ^~T ^^' ^<^fc 



^.•Aj,,(^i.-^;)==^^-g,V 

 1 1 * 



oder 



dx'. ^7 



( ^^) "dt ^ ^ ^^ ^^' ^^i' • • ^'»') (^ = 1 ' 2 ..n). 



1 



derTiff 'ta ^^^^^ w Gleichungen stellen ein simultanes System dar, das von den 

 ic/. . Xn, aufgefasst als Functionen von t, sicher erfüllt wird. Da sich 

 für t = t die «^ . . a^ auf äj . . ä^ reducieren, so sehen wir: Bei dem 

 simultanen System (14) haben x^^ . . x^' für t = 1 nach (1) die An- 

 fangswerte 



(15) x/== fi{x^ . .Xn, äi . . är) (i= 1, 2 . . n). 



Die Integralgleichungen enthalten wieder die Grossen A, . . A;. und t 

 nur in den Verbindungen /«.,.. jiir und lassen sich daher auch in der 

 Form darstellen: 



(16) x!= Fi(x^'. . Xn, ^1 . . fir) (i=l, 2 . :n). 



Führen wir hierin die Werte 



xl=fi{x, a), xl'^fiix^ a), ak = Ok(fi, ä) 

 (i=l, 2 ..n, k = l, 2 ..r) 



in Gemässheit von (1) und (12) ein, so erhalten wir, wenD wir noch 

 die rechte mit der linken Seite vertauschen, die Functionalgleichungen: 



(17) F,{f{x,ä),f,)=^f,{x,0(fi,ä)) 



(i=l,2..n), 

 die wir jetzt deuten wollen. 



Deutung der Dicsc Functionalgleichungen (17) sagen, wenn man überdies die 



JH'unctional- ■-,., , -ii-i m <^ > 



gieichgn. JliXistenz der identischen Transformation in der Schar (1) voraussetzt, 

 nichts anderes aus, als dass die Schar (1) eine Gruppe bildet. 



