Der erste Fundamentalsatz. 375 



.Um dies deutlich zu erkennen, wollen wir die allgemeine Trans- 

 formation (1), die also dem Parametersystem a^ . . ür zugehört, mit 

 dem Symbol Ta bezeichnen. Die Gleichungen (15j stellen dann die 

 Transformation Tä dar. Andererseits wollen wir die Transformation 

 mit den Parametern fti . . y^r, die durch (16) dargestellt wird, mit dem 

 Symbol E^^ bezeichnen*). Nun können wir die w Functionalgleichungen 



(17) in die einzige Formel zusammenfassen: 



(18) TäE^ = Ta, 



denn Tä führt Xi in xl=f,{x, a) und E,j, führt xl in F^ix , ^) über, 

 während Ta nach (12") auch in der Form 



X,- = f,ix, <£>{ti, ä)) (i = 1, 2 . . n) 



geschrieben werden kann. 



Diese Beziehungen (18) bestehen also, sobald nur die drei Para- 

 metersysteme äj . . är, fi, . . f*r, «1 . . «r durch die Relationen (12) ver- 

 knüpft sind, äi . . är bedeuten dabei bestimmt gewählte allgemeine 

 Werte von a^ . . ür- 



Jetzt erst machen wir von der Voraussetzung Gebrauch, dass die 

 Transformation (1) für n^ = a^, ..ar = ar^ die identische werden soll. 

 Wir setzen nämlich für den Augenblick ä^ = a^^, . . är = a^, wählen 

 also Tä als die identische Transformation Ta". Alsdann nehmen, weil 

 die Determinante der aj^ia^') nach ^Voraussetzung auch von Null und 

 Unendlich verschieden ist und mithin die bisherigen Betrachtungen auch 

 für ü = a^ gelten, die a^. .ar in Folge von (12) die Werte an : 



(19) «, = <^,{jji, . . ^,, a^K . «;•) (fc = 1, 2 . . rj, 



sodass aus (18j insbesondere folgt: 



TaoE, = T„ 



oder also 



(20) E, = Ta. 



Jede Transformation E^u gehört mithin mr Schar der Transformationen (1). 

 Da die ^k in (12) hinsichtlich der Grössen fi^ . . ^r von einander un- 

 abhängig sind, so gehört auch umgekehrt jede Transformation (1) der 

 Schar der Ef, an, denn beide Scharen enthalten je oo'" verschiedene 

 Transformationen. 



Wenn wir nun wieder in (18) die ä beliebig wählen, aber E^, 

 durch Ta ersetzen, so kommt: 



*) Die Transformationen E bilden bei variierendem t eine eingliedrige 

 Gruppe, erzeugt von einer infinitesimalen Transformation, in dem von früher her 

 bekannten Sinn. Man vergleiche die begrifflichen Erläuterungen weiter unten. 



