t:il8atz. 



376 Kapitel 15, § 3. 



(21) Tä Ta = Ta. 



Hierin sind äj . . är völlig willkürlich. Auch können wir uns statt 

 ^^ . . fir nach (10) die «j . . «^ völlig willkürlich gewählt denken. Als- 

 dann sind a^ . . ttr nach (12) und (13) die Functionen: 



(22) a, = 0k{M(a, «"), ä) {k=l, 2 ..r) 



von äi . .är und a^ . . «r- 



Die Gleichung (21) sagt folglich aus: 



Die Aufeinanderfolge zweier heliehiger Transformationen Tä und 

 Ta der Schar (1) ist äquivalent einer einzigen Transformation Ta der- 

 selben Schar. 



Dies aber ist die Gruppeneigenschaft. 



Hiermit sind wir zu dem Satze gelangt: 

 Erster Eistei Fundameiitalsatz 1 Bestimmen die Gleichunqen 



(I) x/ = fi{x^ . . Xn, a^ . . ür) (i = 1, 2 . . n) 



oo'' verschiedene Transformationen, die eine Gruppe bilden, so 

 bestehen r • n Gleichungen von der Form 



(II) ^J =^tjk(ai . . ar%i{x^ . . Xn) 

 ^' 1 



(i= 1, 2 ..n, Jc= 1, 2..r) 



sowie ihre Auflösungen: 



(HI) li/(^l'. . Xn) =^CCjk[ai . . «r)g-„- 



1 * 



(i = l,2..n, j = l, 2..r), 

 während die iji{x') keine n linearen homogenen Relationen 



e^lxiix) + •••-!- Crlriix') EiEE 



{i= 1, 2 ..n) 



mit Constanten Coefficienten e^ . . Cr erfüllen. — Wenn umge- 

 hehrt solche n Gleichungen (I), die oo^ verschiedene Transfor- 

 mationen darstellen, r • n Gleichungen von der Form (II) und 

 in Folge dessen auch r • n Gleichungen von der Form (III) er- 

 füllen, wenn überdies für gewisse constante Grössen a^-.aj^ die 

 Gleichungen 



fi(xi . . Xn, «i". . ar^) ^ x.i (i = 1, 2 . .n) 



bestehen und schliesslich die Determinante der ajk(a^) von Null 

 und Unendlich verschieden ist, so stellen die Gleichungen (I) 

 eine Gruppe dar. 



