Der erste Fundamentalsatz. 377 



Wir wollen besonders hervorheben, dass die Gleichungen (II) oder 

 (III) die Form der Gleichungen (I) vollständig bestimmen bis auf die 

 Integrationsconstanten, dass also die Functionen fi{x, d) durch die 

 Functionen ipjk{a) und i,ji{x') durchaus definiert sind, sobald man 

 voraussetzt, dass sich x^ . . Xn für a^ ==«,", . . Or = ör° auf x^ . . Xn 

 reducieren sollen. 



In grossen Zügen soll nun der hegriffliche Inhalt der vorstehenden Ent-^'^^^^^'^^^ 

 ivickeJimgcn angedeutet werden. Man wird gut thun, sich dabei die Wert- des 

 Systeme x^ . . rr„ der Veränderlichen durch Punkte (x) eines Raumes von n *^^'^^''°^- 

 Dimensionen mit den Coordinaten x^ . . x» repi'äsentiert zu denken , sodass 

 eine Transformation sich darstellt als Transformation der Punkte dieses 

 Raumes. Andererseits ist es aber auch nützlich, sich die Transformationen 

 selbst als Individuen zu denken. Wir können uns jede Transformation T« 



x/== fi{x^ . .Xn, »1 . . ai) (? = 1, 2 . . w) 



durch einen Punkt («) eines anderen Raumes von r Dimensionen mit den 

 Coordinaten % . . cir dargestellt denken. Wir nennen diesen Raum den 

 Raum (^j . . a,.). Die Gleichungen (l) stellen c»'' verschiedene Transfor- 

 mationen dar, wenn in diesem Räume innerhalb der Umgebung eines 

 Punktes (a) von allgemeiner Lage zu verschiedenen Bildpunkten stets ver- 

 schiedene Transformationen gehören. So kann offenbar der Satz 1 des vorigen 

 Paragraphen begrifflich gedeutet werden. (Vgl. auch § 1 des 6. Kap.) 



Bildet nun, wie wir vorerst voraussetzen, die Schar (l) von oo'' Trans- 

 formationen eine Gruppe, so ist die Aufeinanderfolge zweier Transforma- 

 tionen T(i, Tj der Schar einer einzigen Transformation T. der Schar äqui- 

 valent. Ta führe das Wertsjstem x^ . . Xn oder also den Punkt {x) in den 

 Punkt (ic'), Tt, ferner {x) in fx") über. Wenn wir h^ . .Itr ändern, so 

 muss sich — jedenfalls innerhalb einer gewissen Umgebung der Stelle (&) 

 des Raumes (a^ . . ür) — auch T^ und daher auch Ta Tb = Tc ändern, weil 

 sonst eben nicht alle r Parameter a^ . . ür in fl) wesentlich wären. Es 

 ist also möglich, durch Abänderung der h zu allen Transformationen in 

 der Umgebung von T^ zu gelangen. Bei beliebiger Wahl von Ta und Tc 

 ist es also, sobald nur T^ innerhalb der Umgebung einer Stelle allgemeiner 

 Lage des Raumes (a^ . . a^ liegt, immer möglich, Tf, so zu bestimmen, 

 dass TaTf) = Tc wird. Diese Betrachtung deckt sich mit dem zum Schluss 

 des § 1 geführten Nachweis, dass die Functionen 95^ . . qp;- hinsichtlich 

 \ . .hr von einander unabhängig sind. 



Hieraus folgt weiter: Ist Ta+öa eine 7'„ benachbarte Transformation, 

 so existiert eine T^ benachbarte Transformation TbJfib derart, dass auch 



Ta-^daTbJ^db = Tc 



ist. Diese Variation der a^ . . ür und h^ . .l>r wurde zu Beginn des jetzigen 

 Paragraphen ausgeführt, indem c^. .Cr festgehalten wurden und die Differen- 

 tiation nach «1 , . ür stattfand, wobei \ . . hr als Functionen der a^ . . tty 

 und der festen c^ . . Cr aufzufassen waren. 



Ta führte die Punkte {x) in die Punkte {x'^ über. ^a+Ja wird die 

 I Punkte {x) in Punkte (ic'-j- <J/) 'verwandeln. Also kann Ta-{-da ersetzt 



