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Kapitel 16, § 2, 



infinitesi- werden durch die Aufeinanderfolge von Ta und einer passenden unendlich 

 ™ormation*'kleinen Transformation Äja, die alle {x) in die (ic'-f- ^^') überführt, sodass 



TaSda 



wird. Hieraus folgt nun auch: 



Ta + da 



- a-\-da- 



Wir erkennen durch ganz analoge Betrachtungen, dass auch 



SdaTb + db == Tb, 



also: 



Söa = TbTb + ib 



Fig. 33. 



6xi= ^^ix\ a)öak 

 1 



r 



ist. Man vergleiche die Fig. 33, 

 in der S^a die infinitesimale Trans- 

 formation vorstellt, die die Punkte 

 (x') nach den Stellen (x'-\- dx) 

 überführt. Für die infinitesimale 

 Transformation S^a gewinnen wir 

 somit zwei verschiedene Darstel- 

 lungen, indem sich die Incremente, 

 die sie den x' erteilt, in diesen 

 beiden Arten ausdrücken: 



(i = 1, 2 . . n). 



Dabei bedeuten («', a) und (x\ b) Coefficienten, die von x^. . Xn und a^'.. «r 

 bez. bi . . hr abhängen, während da^. . Sür und öb^^ . . dbr die Incremente 

 der Parameter bedeuten, für welche Ta+SaTb+db = TaTf, bleibt. Die 

 db^ . . dbr sind also Functionen der % . . «r, &i • • br und da^ . . dur'. 



r 



Sbk = ^ {a, b)daj (Je = 1, 2 . . r). 

 1 



Es kommt daher auch für S^a' 



r 



Sx/= ^j(x\ b){a, h)8aj. 

 1 



Da nun die b^ . .br von den a^ . . ar und öa^ . . Sür völlig unabhängig 

 sind, so dürfen wir sie bestimmt wählen, wie dies in den Formeln (9) ge- 

 schehen ist. 



Nunmehr haben wir die Betrachtung umzukehren: Angenommen, es 

 liegen oo'' Transformationen T« oder (l) vor, von denen wir nicht wissen, 

 ob sie eine Gruppe bilden, von denen aber bekannt ist, dass sie die iden- 



