Der erste Fundamentalsatz. 379 



tische Transformation T^o enthalten und dass sie die Differentialgleichungen 

 (9) erfüllen, d. h. es soll zu jeder Ta und Ta+Ja eine infinitesimale Trans- 

 formation Sda construiert werden können, sodass 



und die Gesamtheit der Sga wegen der Form der Gleichungen (9) von 

 rti . . ttr unabhängig ist, da die a^ . . ür in (9) nur in den von x freien 

 Factoren auftreten. 



Lassen wir 6a^..8ar alle infinitesimalen Werte annehmen, so erhalten 

 wir alle Transformationen TaJ^da in der Umgebung von T«, und zwar jede 

 nur einmal. 



Gehen wir nun von einer bestimmten Transformation Tä der Schar 

 (l) aus, so bestehen Gleichungen von der Form 



Indem wir also zuerst eine Transformation T^, sodann unendlich oft eine 



bestimmte infinitesimale Transformation Ssa ausführen, erhalten wir immer 



eine Transformation der Schar (l), sagen wir die Transformation Ta. Nun 



aber entsteht durch unendlichoftmalige Wiederholung von S^a eine Schar 



von oo^ Transformationen iJ„, die bekanntlich stets eine eingliedrige Gruppe^ij^s^'^'I^^S'^ 



bilden*). Wir erhalten also 



TeE„ = Ta. 



Wird nun insbesondere Tä als die identische Transformation T«» gewählt, 

 so kommt links nur Ea. Also gehört jede Transformation iJ„ der Schar 

 (1) an, es ist etwa: 



(20) E^ = T«, 

 sodass, wie zu beweisen war, 



(21) T-aTa = Ta 



ist. Noch ist einzusehen, dass auch die eingliedrige Gruppe von oo^ Trans- 

 formationen El,, wenn a^ . . cir variiert werden, oo*" Transformationen lie- 

 fert, also Ta eine beliebige Transformation der Schar (1) ist. Es folgt 

 dies daraus, dass zu jeder Transformation Ta+da in der Umgebung von 

 Ta eine bestimmte infinitesimale Transformation S^a gehört**). 



*) Den Besfriff der von einer infinitesimalen Transformation erzeugten ein- 

 gliedrigen Gruppe setzen wir als bekannt voraus. Vgl. die Fussnote zu Seite 28. 

 **) In seinem Werke über die Theorie der Transformationsgruppen hat Lie 

 nur die erste Hälfte des ersten Fundamentalsatzes ausdrücklich als Satz formu- 

 liert. Die zweite Hälfte ist aber als Specialfall in einem Satze des Werkes 

 enthalten (siehe Theorem 9, § 17 des Werkes). Mit der hier gegebenen Formu- 

 i lierung deckt sich einigermassen der erste von Herrn Schur formulierte Satz, der 

 I sich nur auf Gruppen mit der identischen Transformation bezieht und von ihm 



i nur unter der Voraussetzung bewiesen wird, dass die n Summen ^k- A5 ^^k 



I für a = a" nicht gleichzeitig verschwinden können. Die obige Formel T~E == T^ 

 I bedarf dieser beiden Voraussetzungen nicht, daher gilt sie auch für gemischte 



