380 Kapitel 15, § 3. 



§ 3. Der zweite Fundamentalsatz. 

 Es mögen wieder die n Gleichungen 

 (1) x/= fiix^ . . Xn, «1 . . «r) {i -= \, 2 . . n) 



eine Schar von c»'' verschiedenen Transformationen dar.stellen, die 

 eine Gruppe bilden. Nach dem ersten Teile des ersten Fundamental- 

 satzes bestehen dann infolge von (1) r • n Differentialgleichungen von 

 der Form 



k , 



{i = l, 2 .. n, k=l, 2 .. r), 

 sowie ihre Auflösungen 



(10) yx^' . . X,;) = > ajk(a^ . . a,) .— 



(i=l, 2..n, j=l, 2..r), 



sodass die Determinante der t/;^^ oder der ajk nicht identisch ver- 

 schwindet. 



Unter diesen Voraussetzungen wollen wir die Gleichungen (1) 

 nach Xi . . Xn auflösen. Dadurch mag sich ergeben: 



(23) XX = Fx«. . Xn, «1 . . «r) (A = 1, 2 . . n). 



Betrachten wir wie bisher die x als die Functionen (1) der x und a, 

 so giebt die Differentiation von (23) nach a^: 



.^ dx'. ö«A cOf, 



Multiplicieren wir diese Relation mit ajk und setzen wir ]c = 1, 2..r, 

 so ergeben sich r Gleichungen und als ihre Summe: 



1*1^ r * 



oder wegen (10): 



-^^ , ,, 2^^(^V0 , -^ dF^{x',a) 



1 ' 1 



(i=l, 2..r). 



(aus einzeluen continuierlichen Scharen bestehende) Gruppen, Schur's Beweis des 

 ersten Teiles des Satzes ist im Grunde eine speciellere Fassung des Lie'schen | 

 Beweises. Für den zweiten Teil giebt Schur in seiner zweiten Abhandlung einen ) 

 sehr einfachen und analytisch eleganten Beweis, jedoch nur unter Benutzung des 

 nicht 80 elementaren Begriffes der Parametergruppe. 



