Der zweite Fundamentalsatz. 381 



Diese Gleichungen müssen mm bestehen nicht nur infolge von (1), 

 sondern an sich, da sie x^ . . x^ gar nicht enthalten. Mithin sind 

 F^ . . Fn sämtlich gemeinsame Lösungen f der r linearen partiellen 

 Differentialgleichungen : 



(24) %'(^)IL + 2 «^'(«) li - 



(i=i, 2 •■»•), 



die augenscheinlich von einander unabhängig sind, da die Determinante 

 der ajk nicht Null ist. 



Diese Differentialgleichungen lassen sich, wenn von der symbo-s.vmi>oiü xy 

 lischen Bezeichnungsweise der Differentialausdrücke inffereutiai- 



auadrücke. 



>t r 



(25) X;f = ^ij,(x) If,, Äjf=^- aj,(a) §^ 



1 ' 1 ^' 



Gebrauch gemacht wird, kürzer so schreiben: 



(24') x;f-\-Äjf==0 (j=l, 2..r). 



Offenbar sind die n Functionen F^. . Fn von a;/. . Xn, a^ . . ttr von 

 einander unabhängig, da die Gleichungen (25j nach rr/. . xü in der 

 Form (1) auflösbar sind. Aber r von einander unabhängige lineare^ -giietiriges 

 partielle Differentialgleichungen (24) m n -\- r Veränderlichen x^-.Xn^ System. 

 a^ . . ttr besitzen dann und nur dann r von einander unabhängige ge- 

 meinsame Lösungen, wenn sie ein r-gliedriges vollständiges System 

 bilden. Dies aber tritt bekanntlich dann und nur dann ein, wenn die 

 sogenannte Klammeroperation aus (24') keine von diesen Gleichungen xiammor- 



II"- /-i 1 • 1 II- T^- T7-1 1 1 Operation. 



unabhängige Gleichung abzuleiten gestattet. Die Klammerausdrücke 

 aber sind diese: 



z/(z;/'+ Äj) + Äj(x;f-\- Ä.,f) - 

 - x;{x;f-t- Ajf) - ^,{x,r+ Ajf) 



oder kürzer, da die X'f von a^ . . ar und die Af von x^ . . x^ frei sind: 



x;{x:f) - x:{x;f) + a,{a4) - -4.(4/) 



oder, indem wir eine uns bekannte Bezeichnungsweise benutzen: 



(X;X.') + (4-A) (i, i/=l,2..r). 



Wir haben also gefunden, dass diese .Klammerausdrücke durch die 

 linken Seiten der Differentialgleichungen (24') linear ausdrückbar sein 

 müssen: 



