382 Kapitel 15, § 3. 



r 



(x;x;) + (4-^v) =2 ^i..{x;. . x:, a, . . «,) {x:f + A,f) 



(j, v = l, 2..r). 



Hieraus folgt einzeln, da (X/Xv) nur die Differentialquotienten von 

 f nach Xi . . x„' und (^-^j-) nur die nach «^ . . a^- enthält: 



Rülationen 



Kl 

 ausdrücken 



tlüiationen ^^ « ^ n 



^itTJi^^) iX;x:)=2^^jrs{x, a)X:f, {AjA;)=2^^^..{x, a)AJ 



1 1 



(j, 1/ = 1, 2..r). 



Diese Relationen müssen also identisch bestehen für alle Werte 

 von x^'. . Xn, «1 . . «r und alle Functionen f von diesen Grössen, Ins- 

 besondere müssen daher die Coefficienten der Differentialquotienten 



von f einzeln verschwinden. In der zweiten Gleichung aber hat -r — 



links den Coefficienten 



rechts den Coefficienten 2Jd-p,as/,t. Demnach ist: 



r 



AjUyu — AyUj,, ^ ^s%'j^,{x', a)a,f^ \ 



^ I 



Unter Ajav/j. ist hierbei natürlich der Ausdruck Ajf für f'^Ur^ zu 

 verstehen. In diesen letzten Gleichungen kommen aber links x^ . . xü 

 gar nicht vor, ebenso nicht rechts in den a,.^,, deren Determinante 

 nicht identisch verschwindet. Lassen wir also nun ft alle Ziffern von 

 1 bis r durchlaufen, so ergiebt die Auflösung der so erhaltenen n 

 Gleichungen nach 'd-jyx • • Q'jvr, dass die %• von a;/. . Xn frei sind. Aber 

 sie sind auch von a^ . . ür frei. Denn aus den ersten Relationen (26) 

 folgt jetzt durch Differentiation nach ük, das links gar nicht auftritt: 



Diese Gleichung zerfällt nach (25) in die n einzelnen: 



(i= 1, 2 ..n). 



Nun aber bestehen nach dem ersten Fundameutalsatz zwischen dei 

 l(aj') keine n Relationen von dieser Form mit constanten Coefficienten, 

 also auch keine mit Coefficienten, die mit den in den i,(x') gar nicht 

 vorkommenden a^ . . a^ behaftet sind. Folglich ist allgemein : 



