Der zweite Fundamentalsatz. 383 



d» 



jys 



8a, ^0 (J=l,2...), 



d. h. die %■ sind frei von a^ . . ür, sie sind mithin ganz bestimmte Con- 

 stauten. Wir wollen deshalb allgemein 



^jvs = Cjy, {j, V, s= l, 2 ..r) 



setzen, sodass wir aus (26) erhalten: 



r r 



(27) (z;z;) =2^c,,,, x:f, {AjA.) =^scj.,aj 



1 1 



av = l,2..r). 



Schlieas- 

 liche form 



dieser 

 Eelatioaen. 



Nunmehr werden wir wieder die Betrachtung umkehren und fol-un.kehrung. 

 gende Voraussetzungen zu Grunde legen: 



Es mögen 2r Differentialausdrücke von der Form 



(25) x;/-^Jiv(^')|i:, 4./^2*«;*«|£ 



1 ' 1 ^" 



(j^l,2..r) 



vorliegen, zwischen denen keine Relation von der Form besteht: 



in der Cj . . e^ Constanten sind. Auch soll die Determinante der aj^^a) 

 nicht identisch Null sein. Wohl aber sollen diese Ausdrücke die Rela- 

 tionen von der Form : 



r r 



(j> = l, 2..r) 



erfüllen, in denen die c^g gewisse Constanten bedeuten. 



Bei diesen Annahmen bilden die r linearen partiellen Differential- 

 gleichungen 



(24') X;f-\-Äjf=0 (j=l, 2..r) 



, ein r-gliedriges vollständiges System in w -j- ^ Veränderlichen x^ . . xü 

 ' «1 . . «r- Sind a^ . , a^ solche Werte von a^ . . a^, für welche die 



Determinante der ajk{a^) weder Null noch Unendlich ist, so besitzt 

 , dieses System bekanntlich {n -\- r) — r, also n von einander unab- 

 i hängige Lösungen f = F^, F^ . . Fn, die sich für a^ == a^^, . . a^ = a^" 

 ij auf x^ . . Xn reducieren. Setzen wir dann die n Gleichungen an: 



(23) xx = Fx{x^. . Xn, a^ . .ttr) (A = 1, 2 . . w), 



80 stellen ihre Auflösungen nach x^..x,'r. 



